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Résumé :
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Ce manuscrit présente une étude sur les équations différentielles aux dérivées partielles, en utilisant des méthodes approximatives. Nous avons présenté les méthodes de décomposition: la méthode d'Adomian et la méthode de perturbation artificielle dans le but de séparer le terme non linéaire dans l'équation d'évolution spécifique. Ces deux méthodes sont appliquées au deux équations non linéaire, l'équation cubique de Schrödinger (CNLS) et l'équation complexe de Korteweg-de Vries modifiée respectivement. Nous avons prouvés la puissance de la méthode d'Adomian en trouvant les solutions approximatives et on a constaté que les résultats numériques sont en bon accord avec les solutions exactes. Pour la deuxième méthode de décomposition qui permette d'obtenir les termes de correction ordre-par-ordre de la solution approximée du problème original, dont le nombre de termes utilisés dans la série, la solution suggérée peut d'une manière satisfaisante reproduire les fonctions originales. La précision maximale de la solution approximative peut être obtenue après un nombre restreint de termes en utilisant la transformé de Fourier . Enfin, Nous avons appliqué un nouveau développement basé sur la méthode de la variable fonctionnelle pour trouver les solutions exactes pour une famille d'équations d'ondes non-linéaires. En appliquant cette méthode, nous avons obtenu des solutions exactes des ondes de déplacement pour trois modèles dans la physique mathématique notamment, l'équation de KdV, forme généralisée du système de Boussinesq, et l'équation d'onde longue régularisée (RLW). Basant sur les résultats de ces systèmes typiques, nous avons également analysé l'effet de l'exposant négatif sur les solutions obtenues. Des structures d'ordre supérieur est obtenue facilement et délicatement. Nous avons montré que cette méthode est un outil simple, directe et efficace pour trouver les structures exactes des solutions à une variété d'équations d'ondes non-linéaires à coefficients constants et variables. Mots clés: équations aux dérivées partielles, décomposition, perturbation artificielle, Adomian, variable fonctionnelle. Abstract This manuscript presents a study on partial differential equations, using approximate methods. We presented the decomposition methods: the Adomian method and artificial perturbation method in order to separate the nonlinear term in the specific evolution equation. Both methods are applied to two nonlinear equations, the cubic equation Shrödinger (CNLS) and the complex equation of Korteweg-de Vries. We have proven the powerful features of the Adomian method for finding approximate solutions and we have found that the numerical results are in good agreement with exact solutions. For the second decomposition method that achieves the correction terms order-by-order approximated solution of the original problem, the number of terms used in the series, the suggested solution can satisfactorily reproduce the original function. The maximum precision of the approximate solution can be obtained after a limited number of terms. Finally, we applied a new development based on the functional variable method to find the exact solutions for a family of equations of nonlinear waves. Applying this method, we obtained exact solutions of displacement waves for three models in mathematical physics especially, the KdV equation, generalized form of the Boussinesq system, and the regularized long wave equation (RLW). Based on the results of these typical systems, we also analyzed the effect of the negative exponent on the solutions obtained. Structures of the higher order is obtained easily. We showed that this method is a simple, direct and effective to find exact solutions to a variety of equations of nonlinear waves. We showed that this method is a simple tool, direct and effective to find exact solutions to a variety of non-linear wave equations with constant and variable coefficients. Keywords: Partial differential equations, decomposition, artificial perturbation, Adomian, functional variable
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