| Titre : | Probability and Random Variables: Theory and Applications |
| Auteurs : | Iickho Song, Auteur ; So Ryoung Park, Auteur ; Seokho Yoon, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Springer, 2023 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-3-030-97681-1 |
| Format : | 1 vol. (508 p.) |
| Langues: | Anglais |
| Résumé : |
This book discusses diverse concepts and notions – and their applications – concerning probability and random variables at the intermediate to advanced level. It explains basic concepts and results in a clearer and more complete manner than the extant literature. In addition to a range of concepts and notions concerning probability and random variables, the coverage includes a number of key advanced concepts in mathematics. Readers will also find unique results on e.g. the explicit general formula of joint moments and the expected values of nonlinear functions for normal random vectors. In addition, interesting applications of the step and impulse functions in discussions on random vectors are presented. Thanks to a wealth of examples and a total of 330 practice problems of varying difficulty, readers will have the opportunity to significantly expand their knowledge and skills. The book is rounded out by an extensive index, allowing readers to quickly and easily find what they are looking for. Given its scope, the book will appeal to all readers with a basic grasp of probability and random variables who are looking to go one step further. It also offers a valuable reference guide for experienced scholars and professionals, helping them review and refine their expertise. |
| Sommaire : |
Contents 1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Laws of Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 One-to-One Correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Continuity of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3 Absolutely Continuous Functions and Singular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Step, Impulse, and Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Step Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Impulse Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.3 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 Limits of Sequences of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.1 Upper and Lower Limits of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.2 Limit of Monotone Sequence of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.5.3 Limit of General Sequence of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2 Fundamentals of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1 Algebra and Sigma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.2 Sigma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.2 Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ixx Contents 2.2.1 Sample Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2.2 Event Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2.3 Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.3 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3.1 Properties of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3.2 Other Definitions of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.4 Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.4.1 Total Probability and Bayes’ Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.4.2 Independent Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.5 Classes of Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.1 Discrete Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.2 Continuous Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.5.3 Mixed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.1 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.1.1 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.1.2 Cumulative Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.1.3 Probability Density Function and Probability Mass Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.2 Functions of Random Variables and Their Distributions . . . . . . . . . . 174 3.2.1 Cumulative Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.2.2 Probability Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.3 Expected Values and Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.3.1 Expected Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3.2 Expected Values of Functions of Random Variables . . . . . . . 191 3.3.3 Moments and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.3.4 Characteristic and Moment Generating Functions . . . . . . . . . 198 3.3.5 Moment Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.4 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.4.1 Conditional Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.4.2 Expected Values Conditional on Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.4.3 Evaluation of Expected Values via Conditioning . . . . . . . . . . 215 3.5 Classes of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.5.1 Normal Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.5.2 Binomial Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.5.3 Poisson Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 3.5.4 Exponential Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Contents xi 4 Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.1 Distributions of Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.1.1 Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.1.2 Bi-variate Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.1.3 Independent Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4.2 Distributions of Functions of Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4.2.1 Joint Probability Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.2.2 Joint Probability Density Function: Method of Auxiliary Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 4.2.3 Joint Cumulative Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.2.4 Functions of Discrete Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 4.3 Expected Values and Joint Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4.3.1 Expected Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4.3.2 Joint Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 4.3.3 Joint Characteristic Function and Joint Moment Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 4.4 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 4.4.1 Conditional Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 4.4.2 Conditional Expected Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4.4.3 Evaluation of Expected Values via Conditioning . . . . . . . . . . 308 4.5 Impulse Functions and Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5 Normal Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.1 Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.1.1 Probability Density Function and Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.1.2 Bi-variate Normal Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 5.1.3 Tri-variate Normal Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 5.2.1 Distributions of Subvectors and Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 5.2.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.3 Expected Values of Nonlinear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.3.1 Examples of Joint Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.3.2 Price’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.3.3 General Formula for Joint Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 5.4 Distributions of Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 5.4.1 Sample Mean and Sample Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 5.4.2 Chi-Square Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 5.4.3 t Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 5.4.4 F Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384xii Contents Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 6 Convergence of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 6.1 Types of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 6.1.1 Almost Sure Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 6.1.2 Convergence in the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 6.1.3 Convergence in Probability and Convergence in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 6.1.4 Relations Among Various Types of Convergence . . . . . . . . . 422 6.2 Laws of Large Numbers and Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . 425 6.2.1 Sum of Random Variables and Its Distribution . . . . . . . . . . . 426 6.2.2 Laws of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 6.2.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 Answers to Selected Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Disponibilité (1)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/1076 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
