| Titre : | Théorie statistique des champs - Tome 2 |
| Auteurs : | François David, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | EDP Sciences, 2022 |
| Collection : | Savoirs actuels |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7598-2217-1 |
| Format : | 1 vol. (632 p.) / 22,8 cm |
| Langues: | Français |
| Langues originales: | Français |
| Résumé : |
Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours " Physique théorique " du Master 2 " Concepts fondamentaux de la physique ", à l'Ecole normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. Ce deuxième volume se compose de deux parties. La première partie traite de la physique statistique des phénomènes critiques et de la théorie du groupe de renormalisation dans l'espace réel. La deuxième présente des applications physiques de la théorie statistique des champs en physique statistique et en physique de la matière condensée. |
| Sommaire : |
Introduction du tome 2 ix 0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii 0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv III Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 339 10 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 341 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 342 10.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 342 10.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 343 10.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 344 10.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 345 10.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 348 10.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 351 10.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 352 10.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 353 10.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 10.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 354 10.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 355 10.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Retrouver ce titre sur Numilog.com ii Théorie statistique des champs 11 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 363 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 11.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 364 11.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 364 11.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 11.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 369 11.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 11.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 373 11.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 373 11.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 11.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 375 11.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 375 11.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 11.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 11.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 11.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 378 11.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 11.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 380 11.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 380 11.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 382 11.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 388 11.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 11.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 395 11.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 398 11.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 402 11.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 11.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 11.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Retrouver ce titre sur Numilog.com Table des matières iii 11.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 11.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 11.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 411 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 12.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 12.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 412 12.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 413 12.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 12.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 418 12.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 12.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 422 12.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 12.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 426 12.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 426 12.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 427 12.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 12.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 12.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 12.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 12.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 12.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 12.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 436 12.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 436 12.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 436 12.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 12.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 438 12.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 439 12.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 441 12.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 12.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 445 12.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 446 Retrouver ce titre sur Numilog.com iv Théorie statistique des champs 12.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 13 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 449 13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 13.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 13.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 450 13.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranches d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 13.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 455 13.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 455 13.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 13.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 460 13.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 461 13.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 13.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 462 13.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 13.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 13.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 465 13.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 13.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 13.4.4 Équations du groupe renormalisation pour . . . . . . . la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 13.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 13.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 471 13.5.1 Relations d’échelle pour D > 4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 13.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 13.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 IV Applications et exemples 475 14 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 477 14.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 14.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 14.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 14.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 14.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Retrouver ce titre sur Numilog.com Table des matières v 14.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.2.4 Limite N → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.2.5 N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 14.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 488 14.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 490 14.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 492 14.4.5 Limite d’échelle et théorie φ 4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 495 14.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 497 14.5.3 Champ moyen et théorie φ 6 3 . . . . . . . . . . . . . . . 499 14.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 500 14.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 14.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 15 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)507 15.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 15.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.1.3 Renormalisation à D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 15.1.4 Détails du calcul perturbatif à D = 2 . . . . . . . . . . 512 15.1.5 Modèle sigma en dimension D > 2 . . . . . . . . . . . . 515 15.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 516 15.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 15.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 15.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 523 15.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 15.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 523 15.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 15.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 525 15.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 526 15.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 15.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 528 15.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 15.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 15.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 532 15.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 533 15.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Retrouver ce titre sur Numilog.com vi Théorie statistique des champs 15.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 15.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 16 Surfaces, interfaces et membranes 539 16.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 16.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 539 16.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 545 16.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 549 16.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 16.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 16.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 16.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 16.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 553 16.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 554 16.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 560 16.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du module de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 16.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 568 16.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 16.2.8 Membranes polymérisées et transition de froissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 17 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 579 17.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 17.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 17.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 584 17.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 17.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 591 17.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 593 17.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 593 17.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 593 17.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 18 Invariance d’échelle et invariance conforme 597 18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 18.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 18.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 598 18.2.2 φ 4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 18.2.3 Courant de dilatation J µ dil et tenseur énergie-impulsion T µν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 18.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 18.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 602 18.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à une variation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 Retrouver ce titre sur Numilog.com Table des matières vii 18.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 18.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 607 18.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 18.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 611 18.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 18.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 611 18.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 614 18.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 617 18.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 Index 623 Bibliographie 627 |
Disponibilité (3)
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