Titre : | Stabilité et contrôle d'un système d'ordre fractionnaire |
Auteurs : | Besma Chettouh, Auteur ; Tidjani Menacer, Directeur de thèse |
Type de document : | Monographie imprimée |
Editeur : | Biskra [Algérie] : Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Université Mohamed Khider, 2020 |
Format : | 1 vol. (52 p.) / ill.couv. / 30 cm |
Langues: | Français |
Mots-clés: | Systèmes dynamiques,dérivée fractionnaire,approche de Caputo,transformé de laplace,stabilité,méthode de Lyaponov,critère de Routh-Hurwitz,contrôle,la méthode de OGY,la |
Résumé : |
Beaucoup de systèmes dynamiques sont mieux caractérisés par un modèle dynamique d'ordre fractionnaire, basé en général sur la notion de différentiation ou d'intégration de l'ordre non-entier. Dans ce travail nous avons donné un aperçu du calcul fractionnaire. On a introduit trois approches des dérivées fractionnaires (l'approche de Grunwald-Letnikov, de Riemann Liouville et celle de Caputo) et la transformé de laplace ainsi que leurs propriétés. Puis nous avons étudié la stabilité des systèmes d'ordre fractionnaire en généralisant les méthodes (de Lyaponov, critère de Routh-Hurwitz) de l'ordre entier à l'ordre fractionnaire. Et pour contrôler le chaos, nous avons présenté deux méthodes les plus populaires (la méthode de OGY, la méthode de Feedback). |
Sommaire : |
Introduction
1 Calcul Fractionnaire 3 1.1 Opérateurs dintégration et de la dérivation fractionnaire : . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Approche de Grünwald-Letnikov (G-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Approche de Riemann-Liouville (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Lien avec lapproche de Grünwald-Letnikov : . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Approche de Caputo : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Transformées de Laplace des dérivées fractionnaires : . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Outils de base de la transformée de Laplace : . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Transformée de Laplace de la dérivée de Riemann-Liouville : . . . . . 13 1.2.3 Transformée de Laplace de la dérivée de Caputo : . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Transformée de Laplace de la dérivée de Grünwald-Letnikov : . . . . 14 1.2.5 Comparaison entre la dérivée au sens de Caputo et celle de Riemann- Liouville : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Système Chaotique 17 2.1 Système dynamique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Représentations mathématiques des Systèmes dynamiques : . . . . . 17 2.1.2 Systèmes autonomes ou non-autonomes : . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Quelques dé nitions et notations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Attracteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Dé nition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Di¤érents types dattracteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Stabilité des systèmes choatiques dordre entier : . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Méthode indirecte de Lyapunov (Linéarisation) : . . . . . . . 22 2.3.2 Méthode directe de Lyapunov : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Stabilité des systèmes choatiques dordre fractionnaire : . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Point déquilibre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Stabilité des systèmes linéaires autonômes : . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.3 Stabilité des systèmes non linéaires (linéarisation) : . . . . . . . . . . 26 2.4.4 Extension au cas fractionnaire de la méthode directe de Lyapounov : 27 2.4.5 Le critère de Routh-Hurwitz pour un système dordre fractionnaire : 30 3 Contrôle des systèmes chaotiques 32 3.1 La méthode OGY : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Présentation de la méthode : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Application dans le cas discret : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 La méthode de contrôle en boucle ouverte (nonfeedback) : . . . . . . . . . . 37 3.3 La méthode de contrôle en boucle fermée (feedback) : . . . . . . . . . . . . . 38 4 Application 40 4.1 La stabilité de point déquilibre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Le chaos : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Simulation numérique obtenus par critère de Routh-Hurwitz : . . . . . . . . 43 Conclusion 45 Bibliographie 46 Annexe A : Outils de base 48 4.3.1 Fonction Gamma : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.2 Fonction Bêta : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3.3 Fonction Mittag-Le er : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Annexe B : Abréviations et Notations 52 |
Disponibilité (1)
Cote | Support | Localisation | Statut |
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MM/1023 | Mémoire master | bibliothèque sciences exactes | Consultable |