| Titre : | Théorie de la mesure et de l'intégration : Cours et exercices corrigés |
| Auteurs : | Robert Rolland, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris : Ellipses, 2017 |
| Collection : | Références sciences, ISSN 2260-8044 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-340-01746-7 |
| Format : | 1 vol. (350 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 515. 42076 |
| Résumé : |
Ce livre présente la théorie de la mesure et de l'intégration du point de vue de l'analyse fonctionnelle suivant la conception d'Henri Lebesgue. Il constitue une synthèse des divers cours donnés en licence et en master de mathématiques. Il sera utile aux étudiants de ces sections, aux candidats aux concours d'enseignement, aux enseignants de mathématiques, ainsi qu'à tout lecteur qui souhaite acquérir une culture générale en mathématiques ou obtenir des détails précis sur des questions classiques du domaine.
Cette partie des mathématiques participe, avec d'autres pans de l'analyse, au développement de l'analyse fonctionnelle et de ses structures abstraites, dans le contexte de la résolution de grands problèmes liés aux équations différentielles et intégrales et aux équations aux dérivées partielles. Ses ramifications et ses interactions avec ces autres théories en font un point d'accès fascinant pour l'étude de l'analyse. Du point de vue historique, on peut suivre à la trace, dans ce domaine, l'évolution de la pensée scientifique qui, partant de la notion de fonction, passe à la notion de point dans un espace fonctionnel, puis à la notion d'espace fonctionnel abstrait et à toutes les évolutions qui s'ensuivent. Cet aspect, avec diverses notes historiques et des références bibliographiques, est présent, notamment dans une annexe consacrée à l'évolution de l'analyse fonctionnelle au début du XXe siècle. Des exercices corrigés concluent chaque chapitre, dont certains sont des sujets de réflexion et proposent des extensions du cours |
| Sommaire : |
1 Introduction - Évolution de la notion d’intégrale 1
1.1 Origine de la théorie......................... 1 1.2 Intégrale de Cauchy.......................... 2 1.3 Intégrale de Riemann......................... 3 1.4 La conception de Lebesgue...................... 3 1.5 Diverses façons de concevoir la notion d’intégrale....... 5 1.6 Introduction aux chapitres suivants.................. 6 1.7 Exercices............................... 6 1.7.1 Énoncés............................ 6 1.7.2 Solutions........................... 11 2 Espaces mesurables - Fonctions mesurables 27 2.1 Introduction.............................. 28 2.2 Clan unitaire.............................. 28 2.3 Tribu.................................. 30 2.4 Clan etσ-clan............................. 31 2.5 Espaces mesurables.......................... 32 2.6 Fonctions mesurables......................... 33 2.6.1 Définition et premiers exemples............... 33 2.6.2 Résultats généraux sur les fonctions mesurables....... 33 2.6.3 Exemples importants..................... 35 2.7 Exercices............................... 40 2.7.1 Énoncés............................ 40 2.7.2 Solutions........................... 43 3 Mesures positives - Espaces mesurés49 3.1 Mesures positives sur un clan unitaire................ 49 3.2 Espaces mesurés........................... 56 3.3 Prolongements d’une mesure positive................ 57 3.3.1 Prolongement à la tribu engendrée.............. 57 3.3.2 Prolongement à la tribu complète engendrée......... 63 3.3.3 Synthèse sur le prolongement................ 66 3.4 Construction de mesures....................... 67 3.4.1 Mesure de Borel et de Lebesgue surR............ 67 3.4.1.1 Le clan des réunions finies d’intervalles deux à deuxdisjoints...... 67 3.4.1.2 Mesure attachée à la longueur des intervalles . . . 68 3.4.1.3 Mesure de Borel et de Lebesgue surR...... 72 3.4.2 Mesure produit de mesures de Borel ou de Lebesgue.... 72 3.4.2.1 Le problème général du produit de deux mesures . 72 3.4.2.2 Clan des réunions finies de produits deux à deuxdisjoints...... 73 3.4.2.3 Mesure positive adaptée au problème....... 73 3.4.2.4 Mesure produit de mesures de Borel ou de Lebesgue 80 3.4.2.5 Généralisations.................. 80 3.4.3 Mesure associée à une fonction de répartition........ 81 3.5 Exercices............................... 82 3.5.1 Énoncés............................ 82 3.5.2 Solutions........................... 87 4 Intégration par rapport à une mesure positive105 4.1 Les fonctions simples......................... 105 4.2 Intégration des fonctions positives.................. 109 4.3 Intégration des fonctions à valeurs dansRou dansC........ 115 4.4 Intégration par rapport à la somme de deux mesures......... 121 4.5 Intégration par rapport à une mesure induite............. 122 4.6 Intégration par rapport à une mesure image............. 124 4.7 Intégration par rapport à une mesure produit............. 125 4.8 Intégration de Lebesgue surRn.................... 132 4.9 Intégration des fonctions définies surN............... 137 4.10 Intégration par partie......................... 138 4.11 Fonctions définies par des intégrales................. 141 4.11.1 Exemples d’études de continuité............... 141 4.11.2 Exemples d’études de dérivabilité.............. 145 4.12 Exercices............................... 147 4.12.1 Énoncés............................ 147 4.12.2 Solutions........................... 151 5 Les espaces de l’intégration173 5.1 Rappel sur les espaces de Banach et les espaces de Hilbert..... 173 5.1.1 Définitions.......................... 173 5.1.2 Les applications linéaires continues. Le dual d’un espace deBanach............... 176 5.1.3 Le théorème de Hahn-Banach................ 178 5.1.3.1 Les théorèmes................... 178 5.1.3.2 Les conséquences................. 180 5.1.4 Le théorème de Baire et ses conséquences.......... 181 5.1.5 Applications à la géométrie des espaces de Banach..... 183 5.1.5.1 Théorème de Banach-Steinhaus.......... 183 5.1.5.2 Théorème de Banach-Schauder.......... 186 5.1.6 Les espaces de Hilbert.................... 189 5.1.6.1 Produit scalaire et norme............. 189 5.1.6.2 Projection orthogonale et distance minimum . . . 193 5.1.6.3 Produits d’espaces de Hilbert........... 196 5.1.6.4 La dualité dans les espaces de Hilbert....... 197 5.1.6.5 Systèmes orthonormaux.............. 198 5.1.6.6 Bases hilbertiennes et classification des espaces de Hilbert......... 201 5.1.6.7 Orthonormalisation de Schmidt.......... 203 5.2 Les espacesLpK(μ)pour1≤p≤+∞................ 203 5.2.1 Cas oùp=1. L’espaceL1K(μ)................ 203 5.2.2 Cas où1 5.2.2.1 Cas général.................... 205 5.2.2.2 Le cas particulier de l’espaceL2K(μ)....... 208 5.2.3 Cas oùp=+∞. L’espaceL∞K(μ).............. 208 5.3 La dualité pour les espacesLpK(μ).................. 209 5.4 Exercices............................... 210 5.4.1 Énoncés............................ 210 5.4.2 Solutions........................... 216 6 Introduction au langage des probabilités 235 6.1 Probabilité et variable aléatoire.................... 235 6.2 La notion d’indépendance....................... 238 6.3 Exercices............................... 242 6.3.1 Énoncés............................ 242 6.3.2 Solutions........................... 248 7 Le point de vue des formes linéaires positives 263 7.1 Introduction.............................. 263 7.2 Formes linéaires positives et mesures régulières........... 267 7.3 Changement de variable........................ 279 7.3.1 Exemple dansR....................... 279 7.3.2 Le cas des transformations linéaires dansRk........ 280 7.3.3 Le cas général........................ 281 7.4 Exercices............................... 285 7.4.1 Énoncés............................ 285 7.4.2 Solutions........................... 286 8 Mesures à valeurs réelles ou complexes 297 8.1 Mesures à valeurs dansRouC.................... 297 8.1.1 Généralités.......................... 297 8.1.2 Mesures à valeurs réelles................... 300 8.1.3 Mesures à valeurs complexes................. 305 8.2 La théorie de Radon-Nikodym.................... 308 8.3 Mesures de Radon........................... 312 8.4 Exercices............................... 317 8.4.1 Énoncés............................ 317 8.4.2 Solutions........................... 319 Annexe A Notes sur l’évolution de l’analyse fonctionnelle et les espaces abstraits 329 A.1 Ce qu’est l’analyse fonctionnelle................... 329 A.2 Deux textes fondamentaux...................... 331 A.3 La notion de fonction......................... 332 A.4 la notion d’espace abstrait...................... 332 A.5 Fréchet, Baire, Banach et les autres.................. 333 A.6 Les espaces de Hilbert........................ 335 A.7 Frédéric Riesz............................. 336 A.8 Les équations fonctionnelles..................... 337 A.9 Textes originaux............................ 338 A.10 Références bibliographiques..................... 341 Bibliographie 343 Index 345 |
Disponibilité (2)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/873 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
| MAT/873 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
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