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Schémas aux différences

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Titre :	Schémas aux différences
Auteurs :	GODOUNOV S, Auteur ; RIABENKI V, Auteur
Type de document :	Monographie imprimée
Editeur :	Alger [Algérie] : OPU, 1987
Format :	1 vol. (361 p.) / ill. / 22 cm
Langues:	Français
Index. décimale :	518.107 6
Sommaire :	Introduction 13 ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES ORDINAIRES Chapitre premier. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES DU PREMIER ET DU SECOND ORDRE. EXEMPLES DE SCHEMAS AUX DIFFÉRENCES 17 1. Equations aux différences simples 1. Equations aux différences (17). 2. Ordre d'une équation aux différences (19) 3. Solution générale d'une équation aux différences (20). Exercices 2. Equation aux différences du premier ordre 22 1. Solution fondamentale (23). 2. Condition de borne de la solution fonda-mentale (24). 3. Solution particulière (24). Exercices 26 3. Equation aux différences du second ordre 26 1. Solution générale de l'équation homogène (27). 2. Solution générale de l'équation non homogène. Solution fondamentale (30). 3. Evaluation de la solution fondamentale par les coefficients de l'équation aux différences (34). Exercices 35 Chapitre 2. PROBLÈME AUX LIMITES POUR UNE ÉQUATION DU SECOND ORDRE 38 § 4. Position du problème. Critères de bon conditionnement 38 1. Position du problème (38). 2. Notion de bon conditionnement (39) 3. Critère suffisant de bon conditionnement (40). 4. Critère de bon condi-tionnement d'un problème aux limites à coefficients constants (41). 5. Critère de bon conditionnement d'un problème à coefficients variables (42). 6. Jus-tification du critère de bon conditionnement d'un problème aux limites à coefficients constants (43). 7. Problèmes aux limites généraux pour des systèmes d'équations aux différences (47). Exercices 49 5. Balayage 50 1. Description (50). 2. Exemple d'algorithme numériquement instable (52). Exercices 53 Chapitre 3. JUSTIFICATION DE LA MÉTHODE DU BALAYAGE 55 6. Propriétés des problèmes aux limites bien conditionnés 1. Evaluation des solutions d'un problème aux limites à coefficients per-turbés (55). 2. Démonstration du critère de bon conditionnement (58). 3. Propriétés des problèmes bien conditionnés (62). 7. Justification de la méthode du balayage pour des problèmes aux limites bien conditionnés 1. Evaluation des coefficients de balayage (63). 2. Influence des erreurs d'arrondi sur le résultat (65). Deuxième partie SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Chapitre 4. EXEMPLES ÉLÉMENTAIRES DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES 8. Notions d'ordre de précision et d'approximation 1. Ordre de précision d'un schéma aux différences (68). 2. Vitesse de con-vergence de la solution d'une équation aux différences (71). 3. Ordre d'approximation (73). 9. Un schéma aux différences instable 1. Procédés d'approximation d'une dérivée (74). 2. Exemple de schéma aux différences instable (74). Chapitre 5. CONVERGENCE DES SOLUTIONS DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES, CONSÉQUENCE DE L'APPROXIMATION ET DE LA STABILITÉ 10. Convergence d'un schéma aux différences 77 1. Réseau et fonction définie sur un réseau (77). 2. Schémas aux diffé-rences convergents (82). 3. Vérification de la convergence d'un schéma aux différences (84). Exercices 86 11. Approximation d'un problème aux limites différentiel par un schéma aux différences 86 1. Résidu 6f (h) (86). 2. Calcul du résidu (88). 3. Approximation de l'ordre de hk (90). 4. Exemples (90). 5. Décomposition d'un schéma aux différences en sous-systèmes (93). 6. Remplacement des dérivées par des rapports aux différences (95). 7. D'autres méthodes de construction de schémas aux différences (97). Exercice 97 12. Définition de la stabilité d'un schéma aux différences. Convergence en tant que conséquence de l'approximation et de la stabilité 98 1. Définition de la stabilité (98). 2. Relation entre l'approximation, la stabilité et la convergence (100). 3. Schéma aux différences convergent pour une équation intégrale (105). 13. Choix des normes 106 14. Critère suffisant de stabilité des schémas aux différences pour le problème de Cauchy 113 1. Exemple préliminaire (113). 2. Schéma aux différences sous forme ca-nonique (114). 3. Stabilité en tant que borne des normes des puissances de Rh (116). 4. Exemples d'étude de la stabilité (117). 5. Non-unicité de l'écri-ture canonique (122). Exercices 123 15. Critère spectral nécessaire de stabilité 124 1. Une condition nécessaire de stabilité est que les normes des puissances de l'opérateur Rh soient bornées (125). 2. Critère spectral de stabilité (126). 3. Discussion du critère spectral de stabilité (127). Exercices 131 16. Erreurs d'arrondi 131 1. Erreurs sur les coefficients (131). 2. Erreurs de calcul (134). 17. Caractérisation quantitative de la stabilité 135 18. Un procédé d'étude de la stabilité des problèmes non linéaires 141 Chapitre 6. SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES USUELS 143 19. Schémas de Runge-Kutta et d'Adams 143 1. Schémas de Runge-Kutta (143). 2. Schémas d'Adams (145). 3. Remar-ques sur la stabilité (148). 4. Généralisation à des systèmes d'équations (149). 20. Méthodes de résolution des problèmes aux limites 151 1. Méthode du tir (151). 2. Méthode du balayage (153). 3. Méthode de Newton (154). Troisième partie SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES POUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. NOTIONS FONDAMENTALES Chapitre 7. PROCÉDÉS SIMPLES DE CONSTRUCTION ET D'ÉTUDE DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES 155 21. Rappels et illustration des définitions principales 155 1. Convergence (155). 2. Approximation (156). 3. Stabilité (159). Exercices 165 22. Procédés simples de construction de schémas aux différences approxi-man ts 166 1. Remplacement des dérivées par des rapports aux différences (166). 2. Méthode des coefficients indéterminés (172). 3. Schémas de prédiction-correction (181). Exercices 182 23. Exemples de construction de conditions aux limites 183 Exercices 188 24. Condition nécessaire de convergence de Courant, Friedrichs et Lewy 189 1. Condition de Courant, Friedrichs et Lewy (189). 2. Exemples de schémas aux différences pour le problème de Cauchy (190). 3. Exemples de schémas aux différences pour le problème de Dirichlet (195). Exercices 197 Chapitre 8. CERTAINS GRANDS PROCÉDÉS D'ÉTUDE DE LA STABILITÉ 198 25. Analyse spectrale du problème de Cauchy aux différences 198 1. Stabilité relativement aux données initiales (198). 2. Condition spectrale nécessaire de stabilité (199). 3. Exemples (201) 4. Représentation intégrale d'une solution (208). 5. Lissage de la solution d'un problème aux diffé-rences en tant qu'effet de la viscosité d'approximation (212). Exercices 214 26. Principe des coefficients fixés 215 1. Fixation des coefficients aux points intérieurs (215). 2. Critère de Babenko et Guelfand (218). Exercices 223 27. Solutions de certains problèmes modèles sous forme des séries finies de Fourier 224 1. Séries de Fourier pour des fonctions définies sur un réseau (224). 2. Représentation des solutions de schémas aux différences pour l'équation de la chaleur sur un segment (227). 3. Représentation des solutions de schémas aux différences pour le problème plan de la chaleur (230). 4. Représentation de la solution d'un schéma aux différences pour le pro-blème des cordes vibrantes (232). Exercices 234 28. Principe du maximum 235 1. Schéma aux différences explicite (235). 2. Schéma aux différences impli-cite (237). 3. Comparaison des schémas aux différences explicite et im-plicite (238). Chapitre 9. M LES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES ET LE CALCUL DES SOLUTIONS GENÉ-RALISÉES 239 29. Solution généralisée 239 1. Apparition des discontinuités (240). 2. Définition d'une solution géné-ralisée (241). 3. Condition sur la ligne de discontinuité de la solution (242). 4. Suppression d'une discontinuité (244). 5. Autre définition d'une solution généralisée (245). 30. Construction de schémas aux différences 246 1. Schéma avec viscosité artificielle (247). 2. Méthode des caractéristiques (247). 3. Schémas aux différences conservatifs (248). Quatrième partie PROBLÈMES À DEUX VARIABLES D'ESPACE Chapitre 10. NOTION DE SCHÉMAS DE DÉCOMPOSITION AUX DIFFÉRENCES 254 31. Construction de schémas de décomposition 254 Exercices 258 32. Schémas aux différences économiques ., 258 Exercices 265 33. Décomposition suivant les facteurs physiques Chapitre 11. PROBLÈMES ELLIPTIQUES 266 34. Un schéma aux différences très simple pour le problème de Dirichlet 266 1. Approximation (266). 2. Stabilité (267). Exercices 270 35. Méthode de stationnarisation 271 1. Idée de la méthode (271). 2. Analyse d'un schéma de stationnarisation explicite (273). 3. Schéma de directions alternées (276). 4. Choix de la précision (277). 5. Limites d'applicabilité des méthodes (278). Exercices 278 36. Itérations à pas variable 279 1. Idée de Richardson (279). 2. Ensemble de paramètres de Tchebycheff (279). 3. Numérotation des paramètres d'itération. (282). 4. Méthode de Douglas-Rachford (285). Exercices 288 37. Méthode de Fédorenko 288 1. Idée de la méthode (289). 2. Description de l'algorithme (290). Cinquième partie STABILITÉ DES PROBLÈMES AUX LIMITES AUX DIFFÉRENCES ÉVOLUTIFS EN TANT QUE BORNE DES NORMES DES PUISSANCES D'UN OPÉRATEUR Chapitre 12. CONSTRUCTION DE L'OPÉRATEUR DE PASSAGE 293 38. Structure stratifiée des solutions des problèmes évolutifs 293 Exercices 296 39. Ecriture des problèmes aux limites aux différences sous forme uP+1 - = RhuP+ reP 296 1. Forme canonique (296). 2. Stabilité en tant que borne uniforme des normes des puissances de l'opérateur Rk (299). 3. Exemple (302). Exercices • 304 40. Utilisation des solutions particulières pour construire l'opérateur de passage 305 41. Certains procédés d'évaluation des normes des puissances d'opérateurs 315 1. Conditions spectrales nécessaires pour que II le i I soient bornés (316). 2. Critère spectral de puissances bornées d'un opérateur auto-adjoint (317). 3. Critères de Rh auto-adjoint (318). 4. Evaluation des valeurs propres de l'opérateur R,, (319). 5. Choix du produit scalaire (320). 6. Critères de stabilité de Samarski (321). Exercice 323 Chapitre 13. CRITÈRE SPECTRAL DE STABILITÉ DES PROBLÈMES AUX LIMITES ÉVO-LUTIFS NON AUTO-ADJOINTS 324 42. Spectre d'une famille d'opérateurs {Rk) 324 1. Nécessité de perfectionner le critère spectral de stabilité (324). 2. Spectre d'une famille d'opérateurs (définition) (326). 3. Condition nécessaire de stabilité (326). 4. Notion de spectre de la famille d'opérateurs {Rh) (dis-cussion) (327). 5. Le critère nécessaire de stabilité est proche d'un critère suffisant (329). 43. Algorithme de calcul du spectre d'une famille d'opérateurs aux différen-ces pour les fonctions définies sur un segment maillé 331 1. Exemple caractéristique (331). 2. Algorithme de calcul du spectre dans le cas général (337). Exercices 338 44. Noyaux des spectres des familles d'opérateurs 338 45. Sur la stabilité des algorithmes itératifs de résolution d'équations aux différences non auto-adjointes 341 Annexe. MÉTHODE DES CONDITIONS AUX LIMITES INTRINSÈQUES 344 1. Classe de systèmes d'équations aux différences (344). 2. Solution fonda-mentale (345). 3. Frontière d'un domaine discrétisé (345). 4. Analogues aux différences des formules intégrales de Cauchy et du type de Cauchy (346). 5. Conditions aux limites intrinsèques (347). 6. Opérateur projec-tion frontière (348). 7. Problème aux limites général (348). 8. Idée à la base de la méthode des conditions aux limites intrinsèques (348). 9. Stabilité des conditions aux limites intrinsèques (348). 10. Une idée supplémen-taire (349). 11. Comparaison de la méthode des conditions aux limites intrinsèques avec la méthode des équations intégrales singulières (351).

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