| Titre : | Théorie de hodge et géométrie algébrique complexe |
| Auteurs : | Claire Voisin, Auteur ; Daniel Barlet, Directeur de publication ; Jean-Benoît Bost, Directeur de publication ; Joseph Osterlé, Directeur de publication |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris [France] : Société mathématique de france, 2002 |
| Collection : | Collection SMF, ISSN 1284-6090 |
| Sous-collection : | Cours spécialisés, num. 10 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-85629-129-0 |
| Format : | 1 vol. (595 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 516. 35 |
| Résumé : | Ce livre se situe à l'interface de la géométrie différentielle complexe et de la géométrie algébrique complexe. La première partie de l'ouvrage présente les résultats fondamentaux de la théorie de Hodge, incluant quelques chapitres préliminaires sur la géométrie kâhlérienne et la cohomologie des faisceaux. Elle se conclut sur la notion de structure de Hodge et sur l'étude de sa dépendance vis-à-vis de la structure complexe. La seconde partie, d'un niveau plus avancé, présente les applications de la théorie de Hodge à la géométrie algébrique complexe. Elle débute par une étude de la topologie des familles de variétés algébriques, d'un point de vue à la fois classique et moderne, et se poursuit par des applications de la théorie des variations infinitésimales de structure de Hodge. Elle se conclut enfin par l'exposition des liens entre la théorie de Hodge et celle des cycles algébriques |
| Sommaire : |
Introduction 1
Partie I. Préliminaires 1. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 29 1.1. Fonctions holomorphes d'une variable 30 1.2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 35 1.3. L'équation ag/ai— f 41 Exercices 43 2. Variétés complexes 45 2.1. Variétés et fibrés vectoriels 46 2.2. Intégrabilité des structures presque complexes 50 2.3. Opérateurs a et ô 58 2.4. Exemples de variétés complexes 64 Exercices 65 3. Métriques kâhlériennes 67 3.1. Définition et premières propriétés 68 3.2. Caractérisations des métriques kâhlériennes 72 3.3. Exemples de variétés kàhlériennes 77 Exercices 83 4. Faisceaux et cohomologie 85 4.1. Faisceaux 86 4.2. Foncteurs et foncteurs dérivés 95 4.3. Cohomologie des faisceaux 102 Exercices 111 Partie II. La décomposition de Hodge 5. Formes harmoniques et cohomologie 115 5.1. Laplaciens 116 5.2. Opérateurs différentiels elliptiques 122 5.3. Applications 125 Exercices 131 6. Cas des variétés kiihlériennes 133 6.1. La décomposition de Hodge 134 6.2. Décomposition de Lefschetz 139 6.3. Théorème de l'indice de Hodge 144 Exercices 147 7. Structures de Hodge et polarisations 149 7.1. Définitions, premières propriétés 150 7.2. Exemples 158 7.3. Fonctorialité 165 Exercices 172 8. Complexes de de Rham holomorphes et suites spectrales 175 8.1. Hypercohomologie 176 8.2. Complexes de de Rham holomorphes 185 8.3. Filtrations et suites spectrales 188 8.4. Théorie de Hodge des variétés ouvertes 195 Exercices 201 Partie III. Variations de structure de Hodge 9. Familles et déformations 207 9.1. Familles de variétés 208 9.2. Connexion de Gauss-Manin 215 9.3. Le cas kâhlérien 219 10. Variation de structure de Hodge 225 10.1. Domaine et application des périodes 226 10.2. Variations de structure de Hodge 234 10.3. Applications 238 Exercices 243 Partie IV. Cycles et classes de cycles 11. Classes de Hodge 247 11.1. Classe de cycle 248 11.2. Classes de Chern 258 11.3. Classes de Hodge 261 Exercices 268 12. Cohomologie de Deligne-Beilinson et application d'Abel-Jacobi 271 12.1. Application d'Abel-Jacobi 272 12.2. Propriétés 280 12.3. Cohomologie de Deligne 284 Exercices 291 Partie V. Topologie des variétés algébriques 13. Le théorème de Lefschetz sur les sections hyperplanes 295 13.1. Théorie de Morse 296 13.2. Application aux variétés affines 302 13.3. Théorème d'annulation et théorème de Lefschetz 309 Exercices 311 14. Étude des pinceaux de Lefschetz 313 14.1. Pinceaux de Lefschetz 314 14.2. Dégénérescence de Lefschetz 318 14.3. Application aux pinceaux de Lefschetz 323 Exercices 331 15. Monodromie 335 15.1. Action de monodromie 336 15.2. Cas des pinceaux de Lefschetz 344 15.3. Application : le théorème de Noether-Lefschetz 355 Exercices 359 16. Suite spectrale de Leray 363 16.1. Définition de la suite spectrale 364 16.2. Le théorème de Deligne 376 16.3. Théorème des cycles invariants 380 Exercices 386 Partie VI. Variation de structure de Hodge 17. Transversalité et applications 391 17.1. Complexes associés aux VISH 392 17.2. Suite spectrale de Leray holomorphe 399 17.3. Étude locale des lieux de Hodge 403 Exercices 412 18. Filtration de Hodge des hypersurfaces 415 18.1. Filtration par l'ordre du pôle 416 18.2. VISH des hypersurfaces 424 18.3. Premières applications 433 Exercices 438 19. Fonctions normales et invariants infinitésimaux 443 19.1. Fibration jacobienne 444 19.2. Application d'Abel-Jacobi 447 19.3. Cas des hypersurfaces de haut degré de P" 458 Exercices 463 20. Travaux de Nori 467 20.1. Le théorème de connexité 469 20.2. Équivalence algébrique 478 20.3. Application du théorème de connexité 485 Exercices 489 Partie VII. Cycles algébriques 21. Groupes de Chow 493 21.1. Construction 495 21.2. Intersection et classes de cycles 503 21.3. Exemples 513 Exercices 519 22. Le théorème de Mumford et ses généralisations 521 22.1. Variétés à CH0 représentable 523 22.2. La construction de Bloch-Srinivas 532 22.3. Généralisation 541 Exercices 543 23. La conjecture de Bloch et ses généralisations 545 23.1. Surfaces avec pg = 0 546 23.2. Filtration sur les groupes de Chow 558 23.3. Cas des variétés abéliennes 562 Exercices 573 Bibliographie 577 Index 589 |
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