| Titre : | Méthodes numériques : analyse, algèbre, équations différentielles ordinaires |
| Auteurs : | N. Bakhvalov, Auteur ; Irina Pétrova, Traducteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Moscou : Éditions Mir, 1976 |
| Collection : | Traduit du russe |
| Format : | 1 vol. (606 p.) / couv. ill. / 22 cm |
| Langues: | Français |
| Langues originales: | Russe |
| Index. décimale : | 518 |
| Sommaire : |
Avant-propos 9
Introduction H Première partie MÉTHODES NUMÉRIQUES DE L'ANALYSE MATHÉMATIQUE Chapitre premier. ERREURS 17 § 1. Sources et classification des erreurs 17 § 2. Enregistrement des nombres sur machines à calculer électroniques 20 § 3. Erreur absolue et erreur relative. Ecritures des données . . . . 21 § 4. Erreur de calcul 23 § 5. Erreur sur une fonction 24 Chapitre II. INTERPOLATION ET PROBLÈMES CONNEXES . . . 30 § 1. Approximation des fonctions. Position du problème . . . 31 § 2. Polynôme d'interpolation de Lagrange 134 § 3. Evaluation du reste du polynôme d'interpolation de Lagrange 36 § 4. Différences divisées et leurs propriétés 37 § 5. Formule d'interpolation de Newton par différences divisées . 39 § 6. Différences divisées et interpolation basée sur des points multiples 42 § 7. Equations aux différences finies 46 § 8. Polynômes de Tchebycheff 55 § 9. Minimisation de l'évaluation du reste d'une formule d'interpola-tion 59 § 10. Différences finies 61 § 11. Formules d'interpolation de Newton pour des points équidistants 65 § 12. Formules d'interpolation de Bessel et d'Everett. Formation des tableaux 66 § 13. Erreur d'arrondi dans l'interpolation 75 § 14. Applications de l'interpolation. Interpolation inverse 77 § 15. Systèmes orthogonaux et leurs propriétés 78 § 16. Polynômes orthogonaux 84 § 17. Dérivation numérique 88 § 18. Erreur de calcul dans les formules de dérivation numérique 91 Chapitre III. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 94 § 1. Formules de quadrature de Newton-Cotes 94 § 2. Evaluation de l'erreur dans une formule de quadrature sur une classe de fonctions 102 § 3. Formules de quadrature de Gauss 106 § 4. Evaluation pratique de l'erreur dans des formules de quadrature élémentaires 117 § 5. Intégration de fonctions fortement oscillantes 122 § 6. Amélioration de la précision d'intégration par partage équidistant du segment 125 § 7. Position des problèmes d'optimisation 131 § 8. Formules de quadrature optimales sur des classes de fonctions à une dérivée 135 § 9. Optimisation de la répartition des points de base des formules de quadrature 142 § 10. Exemples d'optimisation de la répartition. des points d'intégration 148 § 11. Partie principale de l'erreur 154 § 12. Formules d'Euler et de Gregory 158 § 13. Règle d'évaluation pratique de l'erreur de Runge 161 § 14. Formules de Romberg 168 § 15. Expériences et leur discussion 171 § 16. Calcul d'intégrales dans des cas non réguliers 179 § 17. Principes d'établissement des programmes usuels avec recherche automatique du pas 185 § 18. Programmes usuels d'intégration numérique 192 Chapitre IV. APPROXIMATION DES FONCTIONS ET PROBLÈMES CONNEXES 201 1. Meilleures approximations dans un espace vectoriel normé . . 201 § 2. Meilleure approximation dans un espace de Hilbert et sa construc-tion 203 § 3. Transformation de Fourier discrète 208 § 4. Transformation de Fourier rapide 212 § 5. Meilleure approximation uniforme 215 .0.- § 6. Exemples de meilleure approximation uniforme 219 § 7. Méthode itérative de construction du polynôme de meilleure approximation uniforme 225 § 8. Ecriture du polynôme 232 § 9. Procédés de calcul des fonctions élémentaires 239 § 10. Vitesse d'approximation des fonctions de différentes classes 243 § 11. Interpolation et approximation par des fonctions-spline . . 246 § 12. Entropie et 8-entropie 252 Chapitre V. PROBLÈMES À PLUSIEURS DIMENSIONS 259 § 1. Méthode des coefficients indéterminés 260 § 2. Méthode des moindres carrés 261 § 3. Méthode de régularisation 263 § 4. Exemple de régularisation 264 § 5. Réduction des problèmes multidimensionnels aux problèmes unidimensionnels 270 § 6. Evaluation de l'erreur dans l'intégration numérique sur un réseau régulier 278 § 7. Minoration de l'erreur d'intégration numérique 281 § 8. Optimisation de l'estimation de l'erreur sur des classes plus vastes de procédés d'intégration 284 § 9. Méthode de Monte-Carlo 289 § 10. Légitimité des méthodes indéterministes de résolution des pro-blèmes 293 § 11. Accélération de la convergence de la méthode de Monte-Carlo . 296 § 12. Formules de quadrature de précision élevée aux points aléatoires 299 § 13. Choix de la méthode , 304 Deuxième partie PROBLÈMES D'ALGÈBRE ET D'OPTIMISATION Chapitre VI. MÉTHODES NUMÉRIQUES DE L'ALGÈBRE . . • . 311 § 1. Méthodes d'élimination successive des inconnues 312 § 2. Méthode d'orthogonalisation 320 § 3. Méthode itérative simple 322 § 4. Processus itératif réel 327 § 5. Spectre d'une famille de matrices 330 § 6. Procédé ô2 d'évaluation pratique de l'erreur et d'accélération de la convergence 336 § 7. Optimisation de la vitesse de convergence des processus itératifs 339 § 8. Méthode de Seidel 349 § 9. Méthode de la plus grande pente 355 § 10. Méthode du gradient conjugué 358 § 11. Méthode de Monte-Carlo pour des systèmes d'équations linéaires 364 § 12. Méthodes par itérations avec utilisation des opérateurs spectrale-ment équivalents 371 § 13. Erreur sur la solution approchée d'un système d'équations et condi-tionnement des matrices. Régularisation 374 § 14. Problème de valeurs propres 380 § 15. Résolution du problème global de valeurs propres d'une matrice symétrique par la méthode des rotations 385 Chapitre VII. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS NON LINÉAIRES ET DES PROBLÈMES D'OPTIMISATION 390 § 1. Méthode itérative simple et problèmes connexes ...... . 391 § 2. Méthode de Newton pour les systèmes d'équations non linéaires 396 § 3. Autres méthodes de résolution d'une équation 401 § 4. Méthodes de descente 405 § 5. Autres procédés de réduction de la dimension des problèmes 410 § 6. Méthodes de stationnarisation 414 § 7. Que faut-il optimiser? 420 § 8. Comment optimiser? 425 Troisième partie MÉTHODES DE RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Chapitre VIII. MÉTHODES DE RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE CAUCHY 431 § 1. Développement de la solution en série de Taylor 432 § 2. Méthodes de Runge-Kutta 434 § 3. Méthodes avec contrôle de l'erreur par pas 442 § 4. Evaluation d'erreur dans les méthodes à pas séparés 443 .4/ § 5. Méthodes des différences finies 449 § 6. Méthode des coefficients indéterminés 453 § 7. Etude des propriétés des méthodes des différences finies sur des problèmes modèles 458 § 8. Evaluation d'erreur dans les méthodes des différences finies 485 § 9. Partie principale de l'erreur 469 § 10. Etude des propriétés des méthodes des différences finies sur des modèles plus précis 474 § 11. Intégration de systèmes d'équations 483 § 12. Quelques questions générales 492 § 13. Formules d'intégration numérique des équations du deuxième ordre 499 § 14. Evaluation de l'erreur dans la résolution numérique du problème de Cauchy pour une équation du deuxième ordre 503 § 15. Méthodes bilatérales 508 Chapitre IX. MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES AUX LIMITES POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 515 § 1. Méthodes simples de résolution du problème aux limites pour une équation du deuxième ordre 515 § 2. Fonction de Green du problème aux limites discrétisé 522 § 3. Résolution d'un simple problème aux limites discrétisé . . 527 § 4. Fermetures des algorithmes de calcul 536 § 5. Position des problèmes aux limites pour des systèmes linéaires du premier ordre 543 § 6. Algorithmes de résolution des problèmes aux limites pour des systèmes d'équations du premier ordre 549 § 7. Méthodes du balayage orthogonal différentiel 555 § 8. Problèmes aux limites non linéaires 560 § 9. Approximations du type spécial 569 § 10. Recherche des valeurs propres par les méthodes des différences finies 577 § 11. Optimisation de la répartition des points d'intégration 582 § 12. Influence de l'erreur de calcul en fonction de l'écriture de l'équa-tion aux différences finies 587 § 13. Evaluation de l'erreur de calcul pour le problème aux limites résolu par la méthode du balayage 593 Bibliographie 597 Index 603 |
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