| Titre : | Convergence, fonctions élémentaires : concours MP ENSC |
| Titre de série : | Analyse mathématique, 1 |
| Auteurs : | Roger Godement, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Berlin [Allemagne] : Springer, 1998 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-3-540-63212-2 |
| Format : | 1 vol. (432 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
Les deux premiers volumes de cet ouvrage sont consacrés aux fonctions dans R ou C, y compris la théorie élémentaire des séries et intégrales de Fourier et une partie de celle des fonctions holomorphes. L'exposé, non strictement linéaire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversité des voies d'accès aux principaux résultats afin de familiariser le lecteur avec les méthodes de raisonnement et idées fondamentales plutôt qu'avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules. Les volumes 3 et 4 traiteront principalement des fonctions analytiques (théorie de Cauchy, théorie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul différentiel sur les variétés, avec un court exposé de l'intégrale de Lebesgue, en suivant d'assez près le célèbre cours donné longtemps par l'auteur à l'Université Paris 7. |
| Sommaire : |
Préface. L'analyse et ses adhérences V I — Ensembles et Fonctions 1 §1. La théorie des ensembles 8 1 — Appartenance, égalité, ensemble vide 8 2 — Ensemble défini par une relation. Intersections et réunions 11 3 — Entiers naturels. Ensembles infinis 15 4 — Couples, produits cartésiens, ensembles de parties 18 5 — Fonctions, applications, correspondances 20 6 — Injections, surjections, bijections 25 7 — Ensembles équipotents. Ensembles dénombrables 27 8 — Les différentes sortes d'infini 30 9 — Ordinaux et cardinaux 34 §2. La logique des logiciens 41 II — Convergence : Variables discrètes 47 §1. Suites et séries convergentes 47 0 — Introduction : qu'est-ce qu'un nombre réel ? 47 1 — Opérations algébriques et relation d'ordre : axiomes de R 55 2 — Inégalités et intervalles 57 3 — Propriétés locales ou asymptotiques 60 4 — La notion de limite. Continuité et dérivabilité 64 5 — Suites convergentes : définition et exemples 69 6 — Le langage des séries 78 7 — Les merveilles de la série harmonique 83 8 — Opérations algébriques sur les limites 94 §2. Séries absolument convergentes 97 9 — Suites croissantes. Borne supérieure d'un ensemble de nombres réels 97 10 — La fonction log x. Racines d'un nombre positif 102 11 — Qu'est-ce qu'une intégrale ? 109 12 — Séries à termes positifs 113 13 — Séries alternées 119 14 — Séries absolument convergentes classiques 123 15 — Convergence en vrac : cas général 127 16 — Relations de comparaison. Critères de Cauchy et d'Alembert 131 17 — Limites infinies 137 18 — Convergence en vrac : associativité 139 §3. Premières notions sur les fonctions analytiques 148 19 — Applications aux fonctions analytiques 148 20 — Le principe du prolongement analytique 158 21 — La fonction cot x et les séries E 1/n21c 162 22 — Multiplication des séries. Composition des fonctions analytiques. Séries formelles 167 23 — Les fonctions elliptiques de Weierstrass 178 III — Convergence : Variables continues 187 §1. Le théorème des valeurs intermédiaires 187 1 — Valeurs limites d'une fonction. Ensembles ouverts et fermés 187 2 — Fonctions continues 192 3 — Limites à droite et à gauche d'une fonction monotone 197 4 — Le théorème des valeurs intermédiaires 201 §2. Convergence uniforme 205 5 — Limites de fonctions continues 205 6 — Un dérapage de Cauchy 211 7 — La distance de la convergence uniforme 216 8 — Séries de fonctions continues. Convergence normale 220 §3. Bolzano-Weierstrass et critère de Cauchy 225 9 — Intervalles emboîtés, Bolzano-Weierstrass, ensembles compacts 225 10 — Le critère général de convergence de Cauchy 228 11 — Le critère de Cauchy pour les séries : exemples 235 12 — Limites de limites 240 13 — Passage à la limite dans une série de fonctions 242 §4. Fonctions dérivables 244 14 — Dérivées d'une fonction 244 15 — Règles de calcul des dérivées 252 16 — Le théorème des accroissements finis 260 17 — Suites et séries de fonctions dérivables 265 18 — Extensions à la convergence en vrac 270 §5. Fonctions dérivables de plusieurs variables 273 19 — Dérivées partielles et différentielles 274 20 — Différentiabilité des fonctions de classe Cl 276 21 — Dérivation des fonctions composées 279 22 — Limites de fonctions dérivables 284 23 — Permutabilité des dérivations 287 24 — Fonctions implicites 290 Appendice au Chapitre III. Généralisations 303 1 — Espaces cartésiens et espaces métriques généraux 303 2 — Ensembles ouverts ou fermés 306 3 — Limites et critère de Cauchy dans un espace métrique; espaces complets 307 4 — Fonctions continues 310 5 — Séries absolument convergentes dans un espace de Banach 312 6 — Applications linéaires continues 316 7 — Espaces compacts 320 8 — Espaces topologiques 322 IV — Puissances, Exponentielles, Logarithmes, Fonctions Trigonométriques 327 §1. Construction directe 327 1 — Exposants rationnels 327 2 — Définition des exposants réels 329 3 — Calcul des exposants réels 332 4 — Logarithme de base a. Fonctions puissances 334 5 — Comportements asymptotiques 335 6 — Caractérisations des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques 339 7 — Dérivées des fonctions exponentielles : méthode directe 341 8 — Dérivées des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques 344 §2. Développements en séries 347 9 — Le nombre e. Logarithme néperien 347 10 — Série exponentielle et logarithme : méthode directe 349 11 — La série du binôme de Newton 353 12 — La série entière du logarithme 361 13 — La fonction exponentielle comme limite 371 14 — Exponentielles imaginaires et fonctions trigonométriques 375 15 — La relation d'Euler chez Euler 385 16 — Fonctions hyperboliques 390 §3. Produits infinis 395 17 - Produits infinis absolument convergents 395 18 - Le produit infini de la fonction sinus 398 19 - Développement en série d'un produit infini 404 20 - Etranges identités 409 §4. La topologie des fonctions Arg(z) et Gog z 415 Index 425 |
Disponibilité (1)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/76 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
