| Titre : | Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique |
| Auteurs : | Jean-Francois Le Gall, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Berlin, Heidelberg, New York, Barcelone, Hongkong, London, Milan, Paris, Singapore, Tokyo : Springer, 2013 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-3-642-31897-9 |
| Format : | 1 vol. (178 p.) / couv. ill. en coul. / 23.4 cm |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 629.8 (Technique de la commande automatique) |
| Catégories : |
[Agneaux] Distribution (Probability theory. |
| Résumé : |
Cet ouvrage propose une approche concise mais complete de la theorie de l'integrale stochastique dans le cadre general des semimartingales continues. Apres une introduction au mouvement brownien et a ses principales proprietes, les martingales et les semimartingales continues sont presentees en detail avant la construction de l'integrale stochastique. Les outils du calcul stochastique, incluant la formule d'Ito, le theoreme d'arret et de nombreuses applications, sont traites de maniere rigoureuse. Le livre contient aussi un chapitre sur les processus de Markov et un autre sur les equations differentielles stochastiques, avec une preuve detaillee des proprietes markoviennes des solutions. De nombreux exercices permettent au lecteur de se familiariser avec les techniques du calcul stochastique. This book offers a rigorous and self-contained approach to the theory of stochastic integration and stochastic calculus within the general framework of continuous semimartingales. The main tools of stochastic calculus, including Ito's formula, the optional stopping theorem and the Girsanov theorem are treated in detail including many important applications. Two chapters are devoted to general Markov processes and to stochastic differential equations, with a complete derivation of Markovian properties of solutions in the Lipschitz case. Numerous exercises help the reader to get acquainted with the techniques of stochastic calculus. |
| Sommaire : |
1 Vecteurs et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rappels sur les variables gaussiennes en dimension un . . . . . . . . . . . 1 1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . 3 1.3 Espaces et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6 1.4 Mesures gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Le pr´e-mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 La continuit´e des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien . . . . . . . . ..... . 23 2.4 La propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Filtrations et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33 3.1 Filtrations et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33 3.2 Temps d’arrˆet et tribus associ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Martingales et surmartingales `a temps continu . . . . . . . . . . . . . .. 40 3.4 Th´eor`emes d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 47 4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1 Processus `a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 57 4.1.1 Fonctions `a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 57 4.1.2 Processus `a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 60 4.2 Martingales locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Variation quadratique d’une martingale locale . . . . . . . . . . . . . ... 64 4.4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1 Construction de l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 La formule d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4 Le th´eor`eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.5 Quelques applications du th´eor`eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . .. 110 viii Table des mati`eres 6 Th´eorie g´en´erale des processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1 D´efinitions g´en´erales et probl`eme d’existence . . . . . . . . . . . . 121 6.2 Semigroupes de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 126 6.3 La r´egularit´e des trajectoires . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . 132 6.4 La propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.5 Deux classes importantes de processus de Feller . . . . . . . . . . . . . 137 6.5.1 Processus de L´evy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.5.2 Processus de branchement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Equations diff´erentielles stochastiques . . . . . . . . . . . ..... . . . . 145 7.1 Motivation et d´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2 Le cas lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 148 7.3 Les solutions d’´equations diff´erentielles stochastiques comme processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4 Quelques exemples d’´equations diff´erentielles stochastiques . . . . . . 160 7.4.1 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.4.2 Le mouvement brownien g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161 7.4.3 Les processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Appendice A1. Lemme de classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . 167 Appendice A2. Martingales discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175 |
Disponibilité (6)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
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| MAT/627 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
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| Éléments de calcul stochastique pour l'évaluation et la couverture des actifs dérivés | Ben Tahar, Imen (1977-....) |
