| Titre : | Vers le théorème fondamental de l'algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795 |
| Auteurs : | Carlos Álvarez, Auteur ; Jean Dhombres, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris : Hermann, impr. 2011 |
| Collection : | Une histoire de l'imaginaire mathématique, num. 1 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7056-8192-0 |
| Format : | 1 vol. (XXV-377 p.) / ill., couv. ill. / 24 cm |
| Note générale : | Bibliogr. p. 355-371. Index |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 512.009 |
| Catégories : |
[Agneaux] Algèbre [Agneaux] Algèbre > 1500-1800 [Agneaux] Théorie de la démonstration [Agneaux] Théorie de la démonstration > 1500-1800 |
| Résumé : |
L'histoire est un choix et non une nécessité. Au contraire de la mathématique enseignée qui, par souci d'économie et d'efficacité pédagogique, se présente comme une pensée presque toujours unique. Nous choisissons le théorème fondamental de l'algèbre, juste avant qu'il porte un tel nom. On l'énonce aujourd'hui sous une forme minimale : un polynème non réduit à une constante et à coefficients réels possède au moins une racine de forme complexe. Pour rester dans un cadre élémentaire, ce premier volume s'arrête juste avant la première preuve de Gauss, et bien sûr avant l'intervention de Galois. La simplicité de l'énoncé du théorème fondamental de l'algèbre n'est contaminée par aucune écriture symbolique absconse. Polynèmes, constantes, coefficients, racines, nombres complexes, nullité d'une expression algébrique, ces quelques mots disent le contexte du théorème. Parlons d'une banalisation d'une forme polynomiale : ce théorème est devenu sens commun, celui de l'algébre élémentaire, voire aussi de l'algébre commutative. L'histoire est celle de la notion d'imaginaire inventée par Descartes jusqu'à sa réduction à un nombre complexe. Mais l'adjectif " complexe " qualifie la nature du nombre, et non un type de raisonnement. Car le théorème et ses preuves font comprendre ce qui est simple, et la complexité réfère seulement à la présence de deux unités de mesure, au lieu d'une seule, comme lorsque l'on écrivait autrefois une longueur en 2 pieds 3 pouces. Sous le prétexte qu'il s'agit aussi d'une histoire érudite et que plus de cent cinquante années s'écoulèrent entre une affirmation de Descartes en 1637 et la dernière démonstration envisagée qui est celle de Laplace en 1795, notre rôle ne doit surtout pas être de surcharger de difficultés, même en prenant en compte les diverses tentatives d'enseignement des mathématiques à cette période, les difficultés non résolues d'Euler et de Lagrange, et l'avancée de Jean d'Alembert. La simplicité recouvre bien des débats, sur le rôle du signe et de sa mise en oeuvre dans la pensée en général et il n'est pas banal de voir ainsi hésiter de grands mathématiciens sur ce qui est devenu simple, mais on apprend beaucoup sur ce que c'est que penser en mathématiques. |
| Sommaire : |
INTRODUCTION — Un objectif d'histoire et de mathématiques conjointes CHAPITRE 0 - Mode d'emploi, repères, abréviations des différentes formes historiques du théorème fondamental, énoncés 1 historiques et écritures anciennes PREMIÈRE PARTIE : PRÉPARATION DU THÉORÈME CHAPITRE 1 —Descartes pose une équivalence fondamentale entre deux écritures, qui permet la factorisation et 23 la méthode des coefficients indéterminés CHAPITRE 2 - Esquisse d'une préhistoire immédiate de la conception 63 polynomiale de Descartes CHAPITRE 3 - Indéterminations sur la forme des racines et antécédents du théorème de factorisation réelle CHAPITRE 4 - Les polynômes réels de Leibniz à Euler DEUXIÈME PARTIE : LE THÉORÈME FONDAMENTAL SUSCITE L'INVENTION CHAPITRE 5 - L'étonnante et courte démonstration de Jean d'Alembert en 1746 CHAPITRE 6 - Mise en chantier d'un théorème algébrique par Euler et Le Seur CHAPITRE 7 - Le chantier algébrique européen avant la démonstration révolutionnaire de Laplace CHAPITRE 8 - En 1795, Laplace réussit le théorème de factorisation réelle en tant que conséquence de la théorie de 311 l'élimination TROISIÈME PARTIE : DOCUMENTATION Dictionnaire biographique Bibliographie Sources primaires Sources secondaires Index des noms |
Disponibilité (4)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
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