| Titre : | Algèbre des matrices |
| Auteurs : | Jean Fresnel, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Mention d'édition : | nouvelle édition |
| Editeur : | Paris : Hermann, 2012 |
| Collection : | Collection formation des enseignants et formation continue |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7056-8270-5 |
| Format : | 1 vol. (292 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
Cet ouvrage traite de l'algèbre linéaire en 280 pages et 160 exercices. Il s'adresse aux étudiants en licence de mathématiques et aux étudiants de Master de mathématiques. Parcourant le cycle complet des études en mathématiques, il se présente donc comme l'outil de base du candidat aux concours du CAPES ou de l'agrégation. Espace vectoriel, déterminant, rang, système linéaire sont présentés sous la forme théorique et algorithmique : les opérations élémentaires sur lignes et colonnes d'une matrice y jouent un rôle important. Le chapitre " Algèbre des endomorphismes, groupe linéaire " étudie de façon déjà approfondie l'aspect groupe et générateurs avec les transvections, le groupe dérivé et les sous-groupes distingués. Sous le titre " Polynôme minimal et polynôme caractéristique ", on énonce un théorème de Cayley-Hamilton, version forte qui prépare les outils théoriques et algorithmiques du chapitre suivant. La " Réduction d'un endomorphisme " est présentée de façon élémentaire (ie sans utiliser la théorie des modules). Elle conduit à la notion d'invariants de similitude d'un endomorphisme, avec comme conséquence la réduction de Jordan lorsque le corps de base est algébriquement clos. " Vecteurs propres, diagonalisation " est la partie de l'Algèbre linéaire la mieux connue. On y montre la décomposition canonique en diagonalisable plus nilpotent, on y approfondit la recherche numérique de vecteurs propres et, enfin, on y aborde la belle théorie des endomorphismes semi-simples. Les exercices qui closent chaque chapitre abordent des sujets qui intéresseront le lecteur curieux et aiguiseront sa sagacité ; ils permettent d'aboutir, avec des moyens " élémentaires ", à des résultats réputés délicats. |
| Sommaire : |
Introduction Préliminaires I. Déterminant, rang, système linéaire 9 1.0. Espace vectoriel, dimension, application linéaire, matrice, dualité 9 1.0.0. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, application linéaire 10 1.0.1. Famille, partie libre, génératrice, base 14 1.0.2. Base, dimension 15 1.0.3. Dimension d'un sous-espace vectoriel 17 1.0.4. Rang d'une application linéaire 19 1.0.5. Dualité dans les espaces vectoriels 24 1,1. Déterminant 29 1.1.1. Déterminants de n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n 30 relativement à une base 1.1.2. Déterminant d'un endomorphisme 32 1.1.3. Déterminant d'une matrice carrée 33 1.1.4. Calcul d'un déterminant 37 1.2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, rang, matrices équivalentes 1.2.1. Le rang d'une matrice 42 1.2.2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes 45 1.2.3. Matrices echelonnées, matrices équivalentes 47 1.2.4. Les invariants de similitude d'une matrice à coefficients dans 7l ou K[X) 56 1.2.5. Les sous-groupes de Z n, les groupes abéliens finis, les groupes abéliens de 61 type fini 1.2.6. Le groupe Gen(A),SCn(A) où A=Z ou K[X] 65 1.3. Résolution de systèmes linéaires à coefficients dans un corps 67 1.3.1. L'aspect théorique, le théorème de Rouché Fontené 68 1.3.2. Résolution d'un système linéaire par la méthode du système échelonné 73 1.3.3. Recherche d'un système minimal d'équations (resp. d'une base) d'un sous-espace vectoriel de KP 1.4. Exercices 77 2. L'algèbre des endomorphismes, le groupe linéaire 105 2.1. L'algèbre des endomorphismes 105 2.1.1. L'algèbre des endomorphismes, dimension, centre 105 2.1.2. Idéaux bilatères, à gauche, à droite 106 2.1.3. Le dual de EndE 110 2.1.4. Quelques exemples de sous-algèbres 110 2.1.5. Propriétés topologiques, K=R ou c 111 2.2. Le groupe linéaire 112 2.2.1. Le groupe des inversibles de EndE 112 2.2.2 Des générateurs de Gen(K) 113 2.2.3. Transvections 113 2.2.4. Sous-groupes distingués de Gen(K) 118 2.2.5. La topologie du groupe linéaire 119 2.3. Exercices 122 3. Polynôme minimal, caractéristique 141 3.1. Le polynôme minimal d'un endomorphisme 141 3.2. Le polynôme caractéristique 147 3.3. Le théorème de Cayley-Hamilton 151 3.4. Calcul pratique du polynôme minimal, caractéristique, d'un sous-espace monogène 3.4.1. Le calcul du polynôme minimal d'une matrice 153 3.4.2. Le calcul du polynôme caractéristique 154 3.4.3. Calcul d'un sous-espace monogène maximal (i.e. le lemme 3.1.8) 155 3.5. Exercices 157 4. Réduction d'un endomorphisme, invariants de similitude 175 4.1. Le théorème principal 175 4.2. Le point de vue matriciel 177 4.2.1. Les invariants de similitude d'une matrice 177 4.2.2. Les orbites de Ge n(K) opérant par conjugaison sur Mn(K) 178 4.3. Les invariants de similitude de X1 —A 179 4.4. Le calcul des invariants de similitude d'une matrice A 180 4.4.1. Le calcul des invariants de similitude de la matrice A 180 4.4.2. Construction d'une base dans laquelle l'endomorphisme A est un 180 tableau diagonal de matrices compagnons 4.5. Quelques conséquences du théorème principal 181 4.6. La réduction de Jordan 182 4.7. Exercices 185 5. Vecteurs propres, diagonalisation et réductions 209 5.1. Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme 210 5.2. Diagonalisation des endomorphismes, des matrices 212 5.3. Réduction à la forme triangulaire d'une matrice, d'un endomorphisme 215 5.4. Réduction à la forme diagonalisable plus nilpotent 216 5.5. Calcul de vecteurs propres, valeurs propres 218 5.6. Les endomorphismes semi-simples 221 5.7. Exercices 227 Bibliographie Index des notations Index des noms |
Disponibilité (7)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
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