| Titre : | Cours d'analyse : fonctionnelle et complexe |
| Auteurs : | Yves Caumel, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Mention d'édition : | 2e éd. |
| Editeur : | Toulouse : Cépaduès-éditions, 2009 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-85428-914-5 |
| Format : | 1 vol. (238 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Note générale : | La couv. porte en plus : pour les étudiants des filières mathématiques de l'université et les élèves des écoles d'ingénieurs |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
Le cours d'analyse d'une école d'ingénieurs est le socle sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ensemble le cadre de modélisation des autres enseignements scientifiques. Bien que la rédaction de cet ouvrage, tant dans son contenu que dans sa structure, soit inspirée par le profil et les besoins en mathématiques de l'élève et du futur ingénieur, il conviendra à l'apprentissage de l'analyse par les étudiants de niveau L3 et M1 des filières mathématiques et de certaines filières physiques. Adepte d'une pédagogie constructive et motivante, évitant autant que faire se peut l'inefficace linéarité de l'exposé déductif, l'auteur a semé le parcours du néophyte d'appels à l'intuition géométrique et d'applications aux sciences physiques, d'intermèdes historiques ou épistémologiques ainsi que de nombreux exercices et problèmes corrigés. Il est composé de six chapitres : les quatre premiers sont consacrés à l'analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres à la théorie des fonctions holomorphes. Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l'intégration, qui se prolonge par la présentation des concepts- outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace. Après de nécessaires rappels de topologie métrique et de théorie des espaces vectoriels normés, le deuxième chapitre présente de façon détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l'approximation fonctionnelle dans les espaces L2. Le troisième chapitre concerne l'analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles en séries et transformées de Fourier. Le chapitre quatre est une introduction à la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal. La théorie des fonctions holomorphes et ses applications incontournables, transformation conforme, transformée en Z et calcul de résidus, font l'objet des deux derniers chapitres. |
| Sommaire : |
Introduction 1 Théorie de la mesure et de l’intégration 1.1 Mesures et tribus 1.1.1 Les tribus 1.1.2 Mesure des ensembles 1.1.3 Fonctions mesurables 1.2 L’intégrale de Lebesgue et ses propriétés 1.2.1 Intégrale de Lebesgue des fonctions positives 1.2.2 Intégrale de Lebesgue des fonctions quelconques et ses propriétés 1.2.3 Propriétés de continuité et de dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre 1.2.4 Espaces LP 1.3 La convolution des fonctions 1.4 La transformation de Laplace des fonctions 1.5 Thème d’étude : applications de la transformation de Laplace 1.6 Corrigés des exercices 2 Espaces vectoriels normés 2.1 Espaces métriques 2.1.1 Notions basiques 2.1.2 Espaces complets 2.1.3 Espaces compacts 2.1.4 Espaces connexes 2.2 Espaces vectoriels normés 2.3 Espaces de Hilbert 2.3.1 Propriétés d’orthogonalité 2.3.2 Familles et bases orthonormales 2.4 Approximation des fonctions 2.4.1 Approximation dans les espaces préhilbertiens et hilbertiens 2.4.2 Méthode des moindres carrés 2.4.3 Méthode d’approximation uniforme 2.5 Thème d’étude : les polynômes de Legendre 2.6 Corrigés des exercices 3 Séries et transformation de Fourier des fonctions 3.1 Séries trigonométriques 3.2 Séries de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables 3.3 Séries de Fourier des fonctions périodiques de classe L2p (O, T) 3.4 Transformation de Fourier dans L1 (R) 3.5 Transformation de Fourier dans S (R) 3.6 Transformation de Fourier dans L2 (R) 3.7 Introduction à la transformée de Fourier discrète 3.8 Un mot sur les ondelettes 3.8.1 Limitations de l’analyse de Fourier 3.8.2 La transformation de Gabor 3.8.3 Transformation en ondelettes 3.9 Thème d’étude : résolution de l’équation de la chaleur 3.10 Corrigés des exercices 4 Distributions 4.1 Une approche physicienne 4.2 L’espace des distributions D’ 4.3 Dérivation des distributions 4.4 Produit d’une distribution par une fonction C?? 4.5 Convolution des distributions 4.6 Transformation de Fourier des distributions tempérées 4.7 Séries de Fourier des distributions périodiques 4.8 Transformation de Laplace des distributions 4.9 Les filtres 4.10 Corrigés des exercices 5 Fonctions holomorphes, transformations conformes 5.1 Fonctions d’une variable complexe 5.2 Fonctions holomorphes 5.3 Transformations conformes 5.4 Intégrale d’une fonction complexe 5.5 Le théorème de Cauchy et ses corollaires 5.6 Résolution du problème de Dirichlet 5.7 Thème d’étude : application à la mécanique des fluides 5.8 Corrigés des exercices 6 Séries entières et de Laurent ; calcul des résidus 6.1 Rappels sur les séries de fonctions d’une variable complexe 6.2 Séries entières et fonctions analytiques 6.3 Les séries de Laurent 6.4 Applications des séries de Laurent 6.4.1 Calcul des séries de Fourier 6.4.2 La transformation en Z 6.5 Classification des singularités 6.6 Théorème des résidus : applications au calcul d’intégrales 6.7 Corrigés des exercices A Le corps des complexes B Rappels divers C Transformées de Fourier et de Laplace D Représentation des signaux et leurs propriétés Bibliographie commentée |
Disponibilité (2)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/507 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
| MAT/507 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
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