| Titre : | Analyse abstraite |
| Auteurs : | Javad Mashreghi, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Longueuil, Québec : Loze-Dion, 2005 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-921180-87-0 |
| Format : | 1 vol. (192 p.) / couv. ill. en coul. / 23 cm |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
Dans les cours élémentaires de calcul, la distance entre deux points réels x et y est toujours mesurée par |x - y|. La théorie des espaces métriques constitue le premier niveau d'abstraction des idées du calcul. Une métrique est un outil qui nous permet de mesurer la distance entre deux points dans un espace quelconque. Ainsi, nous réussissons à généraliser les notions fondamentales du calcul, comme la continuité, la compacité, la complétude et la connexité, dans un contexte beaucoup plus général que les espaces euclidiens ¡k. L'objectif fondamental de ce volume est d'établir une base concrète pour les étudiants qui veulent continuer leurs études sur des sujets d'analyse plus avancés. Pour faciliter la lecture, nous avons ajouté plusieurs exemples démonstratifs ainsi que quelques problèmes à la fin de plusieurs sections. |
| Sommaire : |
AVANT-PROPOS iii 1PRéLIMINAIRES 1 1.1 Espace vectoriel muni d’un produit scalaire 1 1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz-Buniakowsky 4 1.3 Inégalité de Hölder 6 1.4 Espaces normés 9 1.5 Normes engengrées par un produit scalaire 12 1.6 p-normes 15 1.7 Norme euclidienne sur l’ensemble des matrices 17 2 ESPACES MéTRIQUES 19 2.1 Métrique 19 2.2 Métriques engendrées par des normes 23 2.3 Métrique d 2.4 Produit cartésien des espaces métriques 26 2.5 Métrique engendrée par une suite de métriques 27 2.6 Ultram´etrique 28 2.7 Prémétrique 28 3 SUITES 31 3.1 Suites convergentes 31 3.2 Suite de Cauchy 33 3.3 Suites sous une métrique engendrée par une suite de métriques 34 3.4 Suites dans un produit cartésien d’espaces métriques 36 3.5 Technique de Cantor 38 4 TOPOLOGIE DES ESPACES MéTRIQUES 40 4.1 Boules 40 4.2 Ensembles ouverts 43 4.3 Propriétés générales des ouverts 44 4.4 Ensembles fermés 45 4.5 Propriétés générales des fermés 47 4.6 Dualité entre ouverts et fermés 48 4.7 Adhérence 49 4.8 Intérieur et extérieur 51 4.9 Frontière 52 4.10 Ensembles denses et espaces separables 54 4.11 Ensembles nulle part denses 56 4.12 Ensembles bornés 57 5 FONCTIONS CONTINUES 60 5.1 Fonctions continues entre des espaces métriques 60 5.2 Continuité forte 62 5.3 Continuité par les ouverts et les fermés 64 5.4 Hom´eomorphismes 66 5.5 Métriques équivalentes 67 5.6 Critère d'equivalence par les suites convergentes 69 5.7 Distance d’un point à un ensemble 70 5.8 Lemme de Urysohn 71 5.9 Théorème de Tietze sur le prolongement des fonctions continues 73 6 COMPACIT 6.1 Espace compact 76 6.2 Sous-ensembles compacts fermés et d-bornés 80 6.3 Propriété de l’intersection finie 81 6.4 Image continue d’un ensemble compact 82 6.5 Théorèmes de Heine-Borel et de Bolzano-Weierstrass sur les sous-ensembles compacts de R k 6.6 Compacit´e et continuité uniforme 87 6.7 Th´eor`eme de Dini sur la convergence uniforme d’une suite d´ecroissante de fonctions continues 87 6.8 Th´eor`eme de Weierstrass sur l’approximation par des polynˆomes avec la d´emonstration de Bernstein 88 6.9 Théorèmes de Tychonov sur le produit cartésien des espaces métriques compacts 92 7 COMPLéTUDE 94 7.1 Espace complet 94 7.2 Produit cart´esien des espaces complets 95 7.3 (Rk,dp)et(Ck,dp) sont complets 96 7.4 Espace de Banach et espace de Hilbert 98 7.5 Théorème de catégorie de Baire 101 7.6 Applications fondamentales du théorème de Baire 102 7.7 Principe de contraction 107 7.8 Théorème de Picard 109 7.9 Itération de Newton-Raphson 111 7.10 Complétion 114 8 CONNEXITé 117 8.1 Espace connexe 117 8.2 Image continue d’un ensemble connexe 118 8.3 Connexit´e par arcs 120 8.4 Sous-ensembles connexes et ouverts de Rnconnexes par arcs 121 9 ESPACES DE FONCTIONS 122 9.1 Algèbre de Banach C(K) 122 9.2 Sous-algèbre de C(K) 124 9.3 Théorème de Stone-Weierstrass sur les sous-algèbres denses de C(K) 124 9.4 Théorème de Ascoli-Arzelà sur les sous-ensembles compacts de C(K) 127 viii Analyse abstraite 9.5 Espace de Fr´echet 130 9.6 Sous-ensembles compacts d’un espace de Fr´echet τ-born´es 134 9.7 Espace C(Ω) 135 9.8 Sous-ensembles born´es de C(Ω) 139 9.9 Espace H(Ω) 140 9.10 Th´eor`eme de Montel sur les sous-ensembles compacts de H(Ω) 141 10 DéRIVEE D’UNE FONCTION VECTORIELLE 144 10.1 D´erivabilit´e 144 10.2 R`egle de d´erivation en chaˆıne 148 10.3 Dérivées partielles 151 10.4 Critère pour la d´erivabilité 156 10.5 D´erivées directionnelles 158 10.6 Interprétation du gradient 159 10.7 Dérivées d’ordre supérieur 162 11 FONCTIONS DéRIVABLES SUR UN DOMAINE 165 11.1 Théorème de la moyenne 165 11.2 Théorème de Taylor dans Rn 11.3 Fonctions harmoniques 172 12 APPLICATIONS DE CALCUL DIFFéRENTIEL 174 12.1 Théorème d’inversion locale 174 12.2 Théorème des fonctions implicites 178 12.3 Multiplicateurs de Lagrange 181 NOTATION 187 BIBLIOGRAPHIE 189 INDEX 191 |
Disponibilité (5)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
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