| Titre : | Groupes, anneaux, corps : exemples et applications |
| Auteurs : | Abdelkader Benkilani, Auteur ; Sonia Msallem Ghorbal, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Tunis [Tunisie] : Centre de publication universitaire, 2006 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-9973-37-328-1 |
| Note générale : |
la couv. portent en plus : premier cycle, licence et agrégation |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 512.2 |
| Résumé : |
Ce manuel présente les notions de groupe, d'anneau et de corps à travers des exemples élémentaires et des applications classiques. Il peut accompagner l'étudiant tout au long de sa formation universitaire et le préparer aux concours du C.A.P.E.S. et de l'agrégation. |
| Sommaire : |
1 Divisibilité dans Z 1 1.1 Division euclidienne et identité de Bezout 1 1.2 L'algorithme d'Euclide-Bezout 5 1.3 Identité de Bezout et factorisation 10 1.4 La congruence 12 1.5 Exercices 18 1.6 Corrigés d'exercices 21 2 Généralités sur les groupes 25 2.1 Lois associatives 25 2.2 Groupes, sous-groupes et liomomorphisnies 27 2.3 Groupes abéliens finis 34 2.3.1 Groupes cycliques 34 2.3.2 Exposant d'un groupe 36 2.4 Exercices 39 2.5 Corrigés d'exercices 43 3 Exemples de groupes 45 3.1 Le groupe des permutations 45 3.2 Le groupe diédral 51 3.3 Trois• sous-groupes d'ordre 8 de S4 53 3.1 Encore un groupe (l'ordre 8 55 3.5 Classification des groupes (l'ordre n 3.6 Le groupe des angles 57 3.7 Exercices 60 3.8 Corrigés d'exercices 63 4 Anneaux : premiers exemples 65 4.1 Généralités 65 4.2 L'anneau Z/nz 70 4.3 Anneaux de polynômes 72 4.4 Les anneaux Q[X] et Z[X] 80 4.5 Congruence et polynômes 82 4.6 Exercices 85 4.7 Corrigés d'exercices 89 5 Anneaux factoriels. Applications 91 5.1 Anneaux factoriels 91 5.1.1 Elément irréductible, élément premier 91 5.1.2 Les deux conditions de la factorialité 93 5.1.3 Existence du pgcd 93 5.2 Anneaux principaux 95 5.2.1 La notion d'idéal 95 5.2.2 Anneau principal, euclidien 97 5.3 L'anneau Z[i] des entiers de Gauss 101 5.4 Le théorème de transfert 103 5.5 Exercices 107 5.6 Corrigés d'exercices 112 6 Groupe de Galois 115 6.1 Eléments algébriques 115 6.2 Extensions normales 122 6.3 Groupe de Galois 126 6.4 La correspondance de Galois 129 6.5 Equations résolubles par radicaux 132 6.6 Exercices 137 6.7 Corrigés d'exercices 140 7 S3 et S03(R) 147 7.1 L'algèbre des quaternions 147 7.2 Quaternions, rotations et angles 150 7.3 Structure de S3 et SO (3, IR) 154 7.4 Simplicité 156 7.5 La fibration de Hopf 158 7.6 Exercices 160 7.7 Corrigés d'exercices 161 8 Usage du quotient 163 8.1 Classification des groupes abéliens de type fini 163 8.1.1 Groupe quotient 163 8.1.2 Classification 168 8.2 Corps finis 177 8.2.1 Anneau quotient 177 8.2.2 Corps de rupture. Corps de décomposition . 179 8.2.3 Corps finis 183 8.3 Exercices 187 8.4 Corrigés d'exercices 190 9 Théorèmes de Sylow 193 9.1 Groupe opérant sur un ensemble 193 9.2 Théorèmes de Sylow 196 9.3 Classification des groupes d'ordre n 9.4 Produit serai-direct 202 9.5 Exercices 204 9.6 Corrigés (l'exercices 207 10 Invariants et modules 211 10.1 Calcul matriciel 212 10.1.1 Matrices à coefficients dans un anneau 212 10.1.2 Opérations élémentaires 213 10.1.3 Cas d'un corps 215 10.1.4 Cas d'un anneau euclidien 216 10.1.5 Théorème de la base adaptée 219 10.2 Modules 220 10.2.1 Généralités 220 10.2.2 Cas d'un anneau principal 224 10.2.3 Invariants de similitude 225 10.2.4 Calcul des invariants 227 10.2.5 Perspectives : anneaux Noethériens 230 10.3 Exercices 234 10.4 Corrigés d'exercices 237 A Lemme de Zorn. Applications 241 A.1 L'axiome du choix 241 A.2 Le lemme de Zorn 243 A.3 Anneaux noethériens 247 A.4 Exercices 248 B Structures quotient 249 B.1 Formalisme général 249 B.1.1 Relation d'équivalence, partition et ensemble quotient 249 B.1.2 Passage au quotient d'une application 251 B.1.3 Comparaison entre P(E) et P(E/R) 254 B.1.4 Comparaison entre espaces quotient 255 B.2 Structures quotient 256 B.2.1 Compatibilité entre relations et lois 256 B.2.2 Groupe quotient 258 B.2.3 Anneau quotient 260 B.3 Une application : le Produit tensoriel 261 B.4 Exercices 264 C Polynômes à plusieurs indéterminées 267 C.1 Formule de Taylor ........... 270 C.2 Polynômes symétriques 271 C.2.1 Le théorème fondamental 271 C.2.2 Le discriminant 279 C.3 Idéaux de K[Xl, , X„j 281 C.3.1 Théorème de finitude 281 C.4 Exercices 283 C.5 Corrigés d'exercices 285 |
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