| Titre : | Algèbre linéaire : cours et exercices corrigés |
| Auteurs : | Leïla Lassoued, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Tunis [Tunisie] : Centre de publication universitaire, 2006 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-9973-37-336-6 |
| Format : | 1 vol. (181 p.) / couv. ill. en coul. / 23.8 cm |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
Cet ouvrage consiste en un cours d'algèbre linéaire avancée qui s'adresse aux étudiants des premiers cycles de l'enseignement supérieur. Il sera, en particulier, utile aux élèves des Instituts Préparatoires aux Etudes d'Ingénieurs ; il pourra également servir aux étudiants préparant le CAPES ou l'agrégation. Il s'agit d'un livre de cours avec exercices corrigés, qui comporte cinq chapitres: Le chapitre 1 consiste en des rappels et compléments d'algèbre linéaire de base ; les règles de calcul des déterminants sont supposées connues et revues en exercices. Le chapitre 2 traite la réduction des endomorphismes. On établit le théorème de décomposition des noyaux et on l'applique aux équations différentielles linéaires à coefficients constants. Puis on traite, en dimension finie, la diagonalisation, la triangularisation et la réduction suivant les sous-espaces caractéristiques, qui conduit à la forme réduite de Dunford. On donne l'application aux suites définies par une relation de récurrence linéaire. Les chapitres 3 et 4 concernent les espaces euclidiens et les endomorphismes remarquables de ces espaces. Enfin le chapitre 5 traite les formes quadratiques, dont les applications sont nombreuses en géométrie et en calcul différentiel. |
| Sommaire : |
1 Rappels et compléments d'algèbre linéaire 1 1.1 Applications linéaires. 1 1.2 Représentation matricielle 3 1.3 Sous-espaces stables par un endomorphisme 4 1.4 Sommes directes de plusieurs sous-espaces . 5 1.5 Hyperplans et formes linéaires 7 1.6 Exercices 9 1.7 Corrigés des exercices 15 2 Réduction des endomorphismes 27 2.1 Polynômes d'endomorphismes 27 2.1.1 Polynôme minimal 27 2.1.2 Calcul des puissances d'une matrice . 29 2.1.3 Théorème de décomposition des noyaux 29 2.1.4 Equations différentielles linéaires à coefficients constants 31 2.2 Valeurs propres, vecteurs propres 32 2.2.1 Définitions 32 2.2.2 Propriétés 33 2.3 Polynôme caractéristique 34 2.3.1 Définitions et exemples 34 2.3.2 Propriétés 37 2.3.3 Théorème de Cayley Hamilton 38 2.4 Diagonalisation 40 2.5 Triangularisation 42 2.6 Sous-espaces caractéristiques 44 2.6.1 Noyaux itérés 44 2.6.2 Sous-espaces caractéristiques 44 2.6.3 Suites récurrentes linéaires 49 2.6.4 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 52 2.7 Exercices 55 2.8 Corrigés des exercices 63 3 Espaces euclidiens 83 3.1 Produit scalaire 83 3.1.1 Définitions 83 3.1.2 Expression dans une base 84 3.1.3 Propriétés 85 3.1.4 Théorème de Riesz 87 3.2 Orthogonalité 88 3.2.1 Bases orthonormées 88 3.2.2 Matrices orthogonales 89 3.2.3 Orthogonal d'un sous-espace 90 3.2.4 Procédé d'orthonormalisation de Schmidt . 93 3.2.5 Déterminant de Gram 95 3.2.6 Volume d'un parallélépipède 96 3.3 Espaces euclidiens orientés 98 3.3.1 Orientation, Produit mixte 98 3.3.2 Angle de deux vecteurs dans un plan eu-clidien orienté 98 3.3.3 Produit vectoriel en dimension 3 99 3.4 Exercices 101 3.5 Corrigés des exercices 105 4 Endomorphismes des espaces euclidiens 117 4.1 Lemme préliminaire 117 4.2 Adjoint d'un endomorphisme 118 4.3 Endomorphismes autoadjoints 119 4.4 Endomorphismes orthogonaux 121 4.4.1 Définition et propriétés 121 4.4.2 Cas d'un plan euclidien 124 4.4.3 Cas général 126 4.4.4 Cas où l'espace est de dimension 3 . 128 4.5 Exercices 131 4.6 Corrigés des exercices 137 5 Formes quadratiques ix 153 5.1 Complément sur le dual 153 5.2 Formes bilinéaires symétriques 155 5.2.1 Expression matricielle 155 5.2.2 Orthogonalité, Noyau, Rang 155 5.3 Formes quadratiques 157 5.3.1 Définition 157 5.3.2 Expression dans une base 158 5.3.3 Signature 159 5.3.4 Méthode de Gauss 161 5.4 Exercices 165 5.5 Corrigés 169 6 Index 179 7 Bibliographie 183 |
Disponibilité (4)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
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