| Titre : | Intégration : intégrale de Lebesgue et introduction à l'analyse fonctionnelle |
| Auteurs : | Thierry Goudon, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris : Ellipses, impr. 2011 |
| Collection : | Références sciences, ISSN 2260-8044 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7298-7041-6 |
| Format : | 1 vol. (191 p.) / couv. ill. en coul. / 25 cm |
| Note générale : | Bibliogr. p. 189. Index |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 515.43 |
| Catégories : |
[Agneaux] Lebesgue, Intégrale de |
| Résumé : |
Cet ouvrage décrit la construction de l’intégrale de Lebesgue, en s’appuyant sur le point de vue de la théorie de la mesure. Il présente les techniques et les résultats fondamentaux issus de cette théorie, incluant l’analyse de Fourier.
Une place importante est reservée à la discussion des espaces fonctionnels basés sur les propriétés d’intégrabilité, offrant ainsi l’occasion de se familiariser avec les notions de l’analyse fonctionnelle (théorie hilbertienne, dualité, différentes notions de convergence). Le propos est enrichi par de nombreux exemples, contre-exemples, problèmes et exercices. |
| Sommaire : |
1 Introduction . 11
1.1 Rappels sur l’intégrale de Riemann 11 1.2 Insuffisances de l’int´egrale de Riemann13 1.2.1 L’espace n’est pas complet 13 1.2.2 Passage `a la limite 15 1.2.3 Construction de l’int´egrale de Lebesgue. 17 1.3 Rappels . 19 1.4 Probl`emes et exercices 20 2 Espaces mesurables, fonctions mesurables, mesures. . 47 2.1 Espaces mesurables. 47 2.2 Fonctions mesurables . 48 2.3 Mesures 53 2.4 Mesure de Lebesgue .. 57 2.5 Presque partout 60 2.6 Preuve du th´eor`eme de Carath´eodory 62 2.7 Probl`emes et exercices 68 3 Int´egration des fonctions mesurables 105 3.1 Construction de l’int´egrale 105 3.1.1 Fonctions ´etag´ees positives 105 3.1.2 Fonctions mesurables positives 108 3.1.3 Fonctions mesurables 110 3.1.4 Int´egrale et presque partout . . . . . . . . . . 113 3.2 L’espace L1(X, dµ).. 114 3.2.1 D´efinition . 114 3.2.2 Passage `a la limite . 115 3.3 Probl`emes et exercices .. 123 4 Compl´ements sur les fonctions int´egrables 151 4.1 Int´egrales `a param`etres. 151 4.2 Th´eor`emes de Fubini 152 4.3 Changements de variable155 4.4 Convolution et r´egularisation 161 4.4.1 Densit´e de C0 c dans L1 ... 162 4.4.2 Convolution 166 4.4.3 R´egularisation . 168 4.5 Espaces Lp ... 170 4.5.1 D´efinitions 170 4.5.2 Propri´et´es fondamentales des espaces Lp 172 4.6 Probl`emes et exercices . 176 6 Table des mati`eres 5 Espaces de Hilbert . 239 5.1 D´efinitions . 239 5.1.1 Forme hermitienne 239 5.1.2 Produit scalaire .240 5.1.3 Notions de convergence 241 5.1.4 Espace de Hilbert 242 5.2 Orthogonalit´e ; th´eor`eme de projection 244 5.2.1 Orthogonalit´e 244 5.2.2 Th´eor`eme de projection 244 5.2.3 Th´eor`eme de Riesz 249 5.3 Bases hilbertiennes, s´eries de Fourier 253 5.3.1 Bases hilbertiennes 253 5.3.2 Th´eor`eme de Parseval 255 5.4 Exemple fondamental : fonctions L2 p´eriodiques 256 5.5 Ce que le cas hilbertien peut nous apprendre sur les espaces de fonctions int´egrables 266 5.5.1 Retour sur la dualit´e Lp/Lp 266 5.5.2 Le th´eor`eme de Radon-Nikodym 274 5.6 Probl`emes et exercices 276 6 Transform´ee de Fourier 335 6.1 Transform´ee de Fourier dans L1(RN ) . 335 6.1.1 D´efinition . 335 6.1.2 Propri´et´es ´el´ementaires 337 6.2 Alg`ebre de Wiener 339 6.2.1 Exemple fondamental et lemme d’approximation 339 6.2.2 Alg`ebre de Wiener . 342 6.3 Transform´ee de Fourier dans L2(RN ) 345 6.4 Equation de la chaleur 348 6.5 Probl`emes et exercices . 352 7 Th´eor`emes de compacit´e dans les Lp .. 391 7.1 Compl´ements d’analyse fonctionnelle 391 7.2 Compl´ements de topologie ; topologies forte, faible et faible 398 7.2.1 Espaces topologiques, espaces m´etriques, compacit´e 398 7.2.2 Convergence faible et convergence faible- 401 7.2.3 Th´eor`eme de Banach-Alaoglu-Bourbaki 406 7.3 Crit`ere de compacit´e faible dans les espaces Lp 409 7.3.1 Les cas 1 7.3.2 Le cas p = 1 : th´eor`eme de Dunford-Pettis 412 7.3.3 Crit`ere pratique .. 417 7.4 Equicontinuit´e et compacit´e . 419 7.5 Compacit´e forte dans Lp 423 7.6 Applications : convergences faible, forte et presque partout ; produits 427 7.7 Probl`emes et exercices . 429 Table des mati`eres 7 Bibliographie 441 A Th´eor`eme de Stone-Weierstrass 445 Index .. 451 |
Disponibilité (5)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
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