| Titre : | Groupes et algèbres de Lie |
| Titre de série : | Leçons de géométrie, 5 |
| Auteurs : | M. Postnikov, Auteur ; Djilali Embarek, Traducteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Moscou : Éditions Mir, 1985 |
| Collection : | Traduit du russe |
| Format : | 1 vol. (374 p.) / couv. ill / 22 cm |
| Langues: | Français |
| Langues originales: | Russe |
| Résumé : |
Ce cours spécial [...] est la transcription presque intégrale des leçons faites par l'auteur aux élèves du second (et du troisième) cycle de la faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Moscou." (Avant-propos.) |
| Sommaire : |
LEÇON 1 : Groupes topologiques et différentiables. Affaiblissement des conditions définissant les groupes de Lie. Exemples de groupes de Lie. Transformation de Cayley. Autres exemples de groupes de Lie. Espaces et groupes connexes et connexes par arcs. Réduction de groupes différentiables à des groupes connexes. Exemples de groupes de Lie connexes. LEÇON 2 : Champs de vecteurs invariants à gauche. Parallélisabilité des groupes de Lie. Courbes intégrales de champs de vecteurs invariants a gauche et sous groupes à un paramètre. Foncteur de Lie. Exemple : groupe d'éléments inversibles d'une algèbre associative. Fonctions a valeurs dans une algèbre associative. Sous groupes à un paramètre du groupe G (4). LEÇON 3 : Groupes de Lie des matrices admettant la construction de Cayley. Généralisation de la construction de Cayley. Groupes possédant des ln-images. Algèbres de Lie. Exemples d'algèbres de Lie. Algèbres de Lie des champs de vecteurs. Algèbre de Lie des groupes de Lie. Exemple : l'algèbre de Lie du groupe des éléments inversibles d'une algèbre associative. Groupes de Lie localement isomorphes. Groupuscules de Lie. Foncteur de Lie sur la catégorie des groupuscules de Lie. LEÇON 4 : Exponentielle d'un opérateur différentiel linéaire. Formule de calcul des valeurs de fonctions différentiables dans un voisinage normal de l'unité d'un groupe de Lie. Formule de calcul des valeurs de fonctions différentiables sur le produit de deux éléments. Série de Campbell Hausdorff et polynômes de Dynkine Convergence de la série de Campbell-Hausdorff. Détermination d'un groupuscule de Lie par son algèbre de Lie. Opérations dans l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie et sous groupes à un paramètre. Différentielles des automorphismes intérieurs. Différentielle de l'application exponentielle. Coordonnées canoniques. Unicité de la structure de groupe de Lie. Groupes sans petits sous groupes et cinquième problème de Hilbert. LEÇON 5 : Algèbres associatives libres. Algèbres de Lie libres. Lemme fondamental. Algèbre enveloppante universelle. Injection d'une algèbre de Lie dans son algèbre enveloppante universelle. Démonstration du fait que l'algèbh, I (X) est libre. Théorème de Poincaré Birkhoff Witt. Produits tensoriels d'espaces vectoriels et d'algèbres. Algèbres de Hopf. LEÇON 6 : Théorème de Friedrichs. Démonstration de l'assertion B de la leçon 4. Théorème de Dynkine. Partie linéaire de la série de Campbell Hausdorff. Convergence de la série de Campbell Hausdorff. Groupalgèbres de Lie. Equivalence des catégories des groupuscules et des groupalgèbres de Lie. Isomorphisme des catégories des groupalgèbres et des algèbres de Lie. Troisième théorème de Lie. LEÇON : Sous groupuscules et sous algèbres. Sous groupuscules invariants et idéaux. Groupuscules quotients et algèbres quotients. Réduction de groupuscules différentiables à des groupuscules analytiques .Systèmes de Pfaff. Sous fibrés de fibrés tangents. Sousfibrés intégrables. Graphes de systèmes de Pfaff. Sousfibrés involutifs. Univalence complète d'un foncteur de Lie. Involutivité des sousfibrés intégrables. Sousfibrés complètement intégrables. LEÇON 8 : Revêtements. Coamalgames. revêtements. ments pointés. Problèmes de versel. Sections des revêtements.–.. Revêtements pointés. Espaces simplement connexes. Morphismes de Relation de préordre dans la catégorie des revête Existence de revêtements simplement connexes. justification. Fonctorialité d'un revêtement uni LEÇON 9 : Revêtements différentiables. Isomorphisme des catégories des revêtements différentiables et topologiques. Existence de revêtements différentiables universels. Revêtenients de groupes différentiables et topologiques. Revêtements universels de groupes de Lie. Lemmes relatifs aux groupes topologiques. Isomorphismes locaux et revêtements. Description de groupes de Lie localement isomorphes. LEÇON 10 : Isomorphismes locaux et isomorphismes de localisation. Théorème de Cartan. Diagramme final des catégories et des foncteurs. Réduction du théorème de Cartan. Globalisabilité des groupuscules plongeables. Réduction du théorème de Cartan au theorème d'Ado. LEÇON 11 : Sousvariétés de variétés différentiables. Sousgroupes de groupes de Lie. Variétés intégrales de sousfibrés intégrables. Variétés intégrales maximales. Principe de la démonstration du théorème 1. Structure locale des sousvariétés. Unicité de la structure d'une sousvariété localement redressable à base dénombrable. Sousvariétés de variétés à base dénombrable. Les groupes de Lie connexes possèdent une base dénombrable. Redressabilité locale des variétés intégrales maximales. Démonstration du théorème 1. LEÇON 12 : Autres définitions de la notion de sousgroupe d'un groupe de Lie.Sousgroupes topologiques de groupes de Lie. Sousgroupes fermés de groupes de Lie. Groupes algébriques. Groupes des automorphismes d'algèbres. Groupes des automorphismes des groupes de Lie. Idéaux et sous groupes invariants. Variétés quotients des groupes de Lie. Groupes quotients de groupes de Lie. Calcul des groupes fondamentaux. Simple connexité des groupes SU(n) et Sp(n). Groupe fondamental du groupe U(n). LEÇON 13 : Algèbre de Clifford d'une fonctionnelle quadratique. Z„gradualion d'une algèbre de Clifford. Sur le produit tensoriel d'espaces vectoriels et d'algèbres. Factorisation des algèbres de Clifford en un produit tensoriel gauche. Base d'une algèbre de Clifford.Dualité dans une algèbre de Clifford. Centre d'une algèbre de Clifford. Le groupe de Lie Spin(n). Groupe fondamental du groupe SO(n). Les groupes Spin(n) pour n LEÇON 14 : Doublage des algèbres. Algèbres métriques. Algèbres normées. Automorphismes et dérivations des algèbres métriques. Dérivations d'une algèbre doublée. Dérivations et automorphismes de l'algèbre H . Algèbre des octaves. Algèbre de Lie p, . Constantes de structure de l'algèbre de Lie . Donnée de l'algèbre g, par des générateurs et des relations. LEÇON 15 : Identités dans l'algèbre des octaves Ca. Sous algèbres de l'algèbre des octaves Ca. Groupe de Lie G2. Principe de trialité pour le groupe Spin (8). Analogue du principe de trialité pour le groupe Spin (9). Algèbre d'Albert Al. Plan projectif des octaves. LEÇON 16 : Produits scalaires sur l'algèbre Al. Automorphismes et dérivations de l'algèbre Al. Dérivations adjointes de l'algèbre Al. Théorème de Freudenthal. Corollaires du théorème de Freudenthal. Groupe de Lie F4. Algèbre de Lie f4. Structure de l'algèbre de Lie C e f , . LEÇON 17 : Algèbres de Lie résolubles. Radical d'une algèbre de Lie. Algèbres de Lie abéliennes. Centre d'une algèbre de Lie. Algèbres de Lie nilpotente4. Nilradical d'une algèbre de Lie. Algèbres de Lie nilpotentes linéaires. Théorème d'Engel. Critères de nilpotence. Algèbres de Lie irréductibles linéaires. Algèbres de Lie réductives. Algèbres de Lie résolubles linéaires. Radical nilpotent d'une algèbre de Lie. LEÇON 18 : Fonctionnelle de trace. Fonctionnelle de Killing. Fonctionnelle de trace d'une représentation. Décomposition de Jordan d'un opérateur linéaire. Décomposition de Jordan d'un opérateur adjoint. Théorème de Cartan sur les algèbres de Lie linéaires. Démonstration du critère de Cartan de résolubilité d'une algèbre de Lie. Algèbres de Lie linéaires à fonctionnelle de trace non dégénérée. Algèbres de Lie semi simples. Critère de Cartan de semi simplicité. Opérateurs de Casimir. LEÇON 19 : Cohomologies d'algèbres de Lie. Théorème de Whitehead. Décomposition de Fitting. Théorème généralisé de Whitehead. Lemmes de Whitehead. Théorème de Weyl de réductibilité complète. Extensions des algèbres de Lie abéliennes. LEÇON 20 : Théorème de Lévi. Algèbres et groupes de Lie simples. Groupes caïniens et groupes unimodulaires. Lemme de Schur. Centre d'un groupe de Lie matriciel simple. Exemple de groupe de Lie non matriciel. Cohomologies de de Rham. Groupes de cohomologie d'une algèbre de Lie de champs de vecteurs. Comparaison des groupes de cohomologie d'un groupe de Lie et de son algèbre de Lie. LEÇON 21 : Fonctionnelle de Killing d'un idéal. Quelques propriétés des dérivations. Radical et nilradical d'un idéal. Prolongement des dérivations à une algèbre enveloppante universelle. Idéaux d'une algèbre enveloppante de codimension finie. Radical d'une algèbre associative. Justification du pas inductif de la construction. Démonstration du théorème d'Ado. Conclusion. |
Disponibilité (4)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
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