| Titre : | Groupes : anneaux Corps |
| Partie : | 3 |
| Auteurs : | Khelifa Zizi, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Alger [Algérie] : OPU, 2016 |
| Collection : | Traité de mathématiques |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-9961-0-1860-6 |
| Format : | 1 vol. (516 p.) / couv. ill. en coul. / 27 cm |
| Résumé : |
Le livre comprend trois parties, la première concerne la théorie des groupes. Dans le premier chapitre nous donnons les généralités. On définit les morphismes de groupe. Vient ensuite l'importante notion de sous-groupe normal. On démontre les trois théorèmes d'isomorphismes. Dans le deuxième chapitre, on étudie le groupe libre puis les groupes opérant sur un enemble. On s'intéresse aux p-groupes de Sylow avec les deux théorèmes de Sylow, puis vient l'étude des groupes abéliens de type fini. On termine ce chapitre par l'introduction des groupes résolubles. Le dernier chapitre de cette partie concerne l'étude des congruences linéaires et quadratiques. La deuxième partie comprend les notions sur les anneaux. On généralise l'arithmétique de Z à un anneau intègre. On définit les notions de corps. On en vient alors à l'étude de l'anneau des polynômes. Dans le chapitre suivant on construit le corps des nombres complexes. On aborde ensuite la théorie de Galois. Enfin la dernière partie concerne les corps finis et leur application aux codes détecteurs et correcteurs d'erreurs. |
| Sommaire : |
1 Notions generales sur les groupes 7 1.1 Groupe - Exemples de groupes 7 1.2 Sous-groupe 19 1.2.1 Systeme de generateurs d'un groupe 20 1.2.2 Noyau et Image d'un homomorphisme 23 1.2.3 Generateurs du groupe symetrique - Le sous-groupe alterne An 23 1.2.4 Cycles - Decomposition en produit de cycles 25 1.2.5 Fonctions Mathematica concernant le groupe symetrique 31 1.3 Classe suivant un sous-groupe Indice d'un sous-groupe - Theoreme de Lagrange 31 1.4 Sous-groupe normal - Groupe quotient 36 1.4.1 Normalisateur, sous-groupe caracteristique 40 1.4.2 Simplicite du groupe alterne , n > 5 42 1.4.3 Proprietes des sous-groupes normaux 43 1.4.4 Proprietes des groupes quotients 46 1.4.5 Sous-groupes d'un groupe quotient 47 1.5 Deuxieme et troisieme theoremes d'isomorphismes 49 1.6 Groupes monogenes et groupes cycliques 51 1.6.1 Generateurs d'un groupe monogene 54 1.7 Produit de groupes - Produits directs et semi-directs de groupes 55 1.7.1 Groupe produit de groupes 55 1.7.2 Produit direct de sous-groupes 57 1.7.3 Produit semi-direct de groupes 62 2 Groupe fibre- Groupe de Sylow- Groupe abelien de type fini- Groupe resoluble 71 2.1 Groupe libre - Presentation d'un groupe 71 2.2 Classification des groupes d'ordre inferieur a huit 77 2.3 Representation de groupe - Groupe operant sur un ensemble 82 2.4 Theoremes de Sylow 88 2.5 Groupes abeliens de type fini 93 2.6 Groupe resoluble 98 2.7 Exercices sur les groupes 105 3 Congruences lineaires et quadratiques 129 3.1 Generates sur les congruences 129 3.2 Congruence lineaire - Theoreme chinois des restes 135 3.3 Utilisation des fractions continues 138 3.3.1 line application du petit théorème de Fermat : Le code R S A 149 3.4 Congruences de degré supérieur ou égal à 2 150 3.5 Congruences quadratiques 159 3.6 Exercices sur les congruences 162 4 Notions générales sur les anneaux et les corps 169 4.1 Anneau - Idéal - Anneau intégrité - Anneau principal 169 4.2 Domaine principal 173 4.3 Anneaux noethériens 175 4.4 Divisibilité dans un domaine d'intégrité 176 4.5 p.g.c.d et p.p.c.m dans un domaine d'intégrité 178 4.6 Anneaux factoriels 186 4.7 Anneaux euclidiens 188 4.7.1 Nombres premiers dans l'anneau de Gauss Z[i] 189 4.7.2 Décomposition d'un entier en somme de deux carrés d'entiers 190 4.7.3 Décomposition d'un nombre entier en somme de quatre (resp. trois) carrés 192 4.8 Corps premier - Caractéristique d'un corps 195 4.8.1 Corps des fractions d'un domaine d'intégrité 195 4.9 Exercices sur les anneaux et corps 198 5 Anneau des polynômes 215 5.1 Anneau des polynômes à une indéterminée 215 5.2 Anneau des polynômes à plusieurs indéterminées 220 5.2.1 Ordre lexicographique dans A[X1, X2, , Xm] 223 5.3 Polynômes à rn indéterminées symétriques 226 5.4 Division euclidienne dans l'anneau des polynômes 233 5.4.1 Division suivant les puissances croissantes dans K[X] 236 5.5 Polynômes irréductibles 244 5.6 Polynôme dérivé - Formule de Taylor 250 5.6.1 Equations algébriques - Résultant 261 5.6.2 Discriminant d'un polynôme 267 5.6.3 Transformation des équations 271 5.7 Polynômes d'interpolation 273 5.8 Exercices sur les polynômes et les fractions rationnelles 279 6 Le corps des nombres complexes 297 6.1 Le corps des nombres complexes 297 6.2 Une autre définition du corps des nombres complexes 299 6.3 Le théorème de d'Alembert-Gauss 301 6.4 Racines rationnelles d'un polynôme P E Z[X] 304 6.5 Résolution des équations du 3-ème degré par radicaux 306 6.6 Résolution des équations du 4-ème degré 310 6.7 Corps des fractions rationnelles 313 6.8 Exercices sur les racines des équations dans C 319 7 Extensions de corps 331 7.1 Extension d'un corps 331 7.1.1 Extension simple 338 7.1.2 Construction d'extensions simples 339 7.1.3 Extension de degré fini 343 7.1.4 Le corps K des éléments algébriques sur K 346 7.2 Clôture algébrique 348 7.3 Corps quadratiques 351 7.4 Loi de réciprocité quadratique 356 7.4.1 Reste de degré n modulo p, Reste quadratique 356 7.4.2 Symbole de Legendre 358 7.5 Exercices sur les extensions de corps 364 8 Eléments de la théorie de Galois 369 8.1 Corps des racines d'un polynôme irréductible 369 8.2 Extensions normales, Groupe de Galois 375 8.3 Le théorème fondamental de Galois 386 8.4 Equation résoluble par les radicaux 401 8.4.1 Etude de l'équation de degré un nombre premier à coefficients dans Q 405 8.5 Exercices sur la théorie de Galois 409 9 Les équations de Fermat in + y' = z" pour 2 9.1 Etude de l'équation x2 + y2 = z2 415 9.2 Etude de l'équation x4 + y4 = z4 417 9.3 Etude de l'équation x3 + y3 = z3 418 9.4 Construction de polygones réguliers - Nombres de Fermat e 423 9.4.1 Points constructibles 425 9.5 Polygones réguliers constructibles et non constructibles 429 9.6 Exercices sur l'équation de Fermat 436 10 Corps finis - Application aux codes correcteurs d'erreurs 441 10.1 Théorème de Wedderburn - Polynômeyclotomiques 441 10.1.1 Les corps finis à 4, 9, 25, 8, 16.yéléments 447 10.1.2 Sous-corps d'un corps fini - Classes de cyclotomie. 450 10.2 Introduction aux codes détecteurs et correcteurs d'erreurs 454 10.2.1 Codage de l'information 454 10.2.2 Mots de code - Encodage 455 10.2.3 Code linéaire : matrice de contrôle et matrice génératrice 456 10.2.4 Codes de Hamming 459 10.2.5 La matrice génératrice 463 10.2.6 Matrice génératrice d'un code linéaire systématique 470 10.2.7 Code orthogonal d'un code linéaire 472 10.3 Décodage et Correction des errers 472 10.3.1 Distance de Hamming 472 10.3.2 Décodage par le tableau standard 475 10.3.3 Décodage par la méthode du syndrome 477 10.3.4 Le code de Hamming 478 10.3.5 Les codes cycliques 480 10.3.6 Les codes BCH 486 10.3.7 Les codes de Reed-Muller 487 10.4 Exercices sur les codes détecteurs et correcteurs d'erreurs 490 |
Disponibilité (10)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
| MAT/834 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Empruntable |
