| Titre : | Mesure, intégration, probabilités |
| Auteurs : | Thierry Gallouët, Auteur ; Raphaèle Herbin, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris : Ellipses, DL 2013 |
| Collection : | Références sciences, ISSN 2260-8044 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7298-7753-8 |
| Format : | 1 vol. (600 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Note générale : | Notes bibliogr. |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 515.42 |
| Catégories : |
[Agneaux] Calcul intégral [Agneaux] Mesure, Théorie de la [Agneaux] Probabilités |
| Résumé : |
Cet ouvrage est consacré à la théorie de l’intégration au sens de Lebesgue et à certains développements comme les espaces de fonctions intégrables, la transformation de Fourier et les probabilités. La majeure partie de cet ouvrage est consacrée aux exercices, dont les corrigés sont très détaillés, et donnés en lien avec les questions pour en faciliter la lecture. Certains exercices sont une aide à la compréhension du cours, d’autres en sont des compléments. Ce livre s’adresse d’abord aux étudiants qui découvrent ces notions (le plus souvent en troisième année de Licence de mathématiques ou en première année de Master). Mais l’attention particulière portée aux liens entre l’analyse et les probabilités, ainsi que le traitement de notions avancées en exercice, pourront rendre également cet ouvrage utile aux futurs enseignants de mathématiques ou aux doctorants. |
| Sommaire : |
1 Motivation et objectifs9 1.1 Intégrale des fonctions continues................... 9 1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues........... 11 1.3 Les probabilités............................ 14 1.4 Objectifs................................ 15 1.5 Structure du cours........................... 1.6 Exercices............................... 16 2 Tribus et mesures35 2.1 Introduction.............................. 35 2.2 Tribu ouσ−algèbre.......................... 36 2.3 Mesure, probabilité........................... 41 2.4 Mesure signée............................. 48 2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens.......... 52 2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle.............. 63 2.7 Exercices............................... 69 3 Fonctions mesurables, variables aléatoires109 3.1 Introduction, topologie surR+.................... 109 3.2 Fonctions étagées............................111 3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires............. 113 3.4 Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes........... 120 3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité.......... 123 3.6 Exercices................................127 4 Fonctions intégrables157 4.1 Intégrale d’une fonction étagée positive............... 158 4.2 Intégrale d’une fonction mesurable positive............. 160 4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou.............. 165 4.4 Mesures et probabilités de densité.................. 168 4.5 L’espaceL1des fonctions intégrables................ 4.6 L’espaceL1.............................. 174 4.7 Théorèmes de convergence dansL1..................177 4.8 Continuité et dérivabilité sous le signe d’intégration......... 183 4.9 Espérance et moments des variables aléatoires............ 185 4.10 EspaceL1C(E,T,m)et espaceL1RN(E,T,m).............. 189 4.11 Exercices............................... 192 5 Intégrale sur les boréliens deR243 5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues...... 243 5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon............... 245 5.3 Changement de variable, densité et continuité............ 252 5.4 Intégrales impropres des fonctions deRdansR........... 256 5.5 Exercices............................... 256 6 Les espacesLp275 6.1 Définitions et premières propriétés.................. 275 6.2 Analyse hilbertienne et espaceL2.................. 288 6.3 Dualité dans les espacesLp,1≤p≤∞............... 310 6.4 Convergence faible, faible-∗, étroite, en loi.............. 319 6.5 Exercices............................... 330 7 Produits d’espaces mesurés411 7.1 Motivation................................411 7.2 Mesure produit............................ 412 7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini.................417 7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens deRN........ 422 7.5 Convolution.............................. 425 7.6 Formules de changement de variable................. 430 7.7 Exercices............................... 433 8 Densité, séparabilité et compacité465 8.1 Théorèmes de densité pour les espacesLp(Ω)............ 465 8.2 Séparabilité deLp(Ω)......................... 470 8.3 Compacité dans les espacesLp(Ω)...................471 8.4 Compacité faible-∗.......................... 472 8.5 Exercices............................... 475 9 Vecteurs aléatoires487 9.1 Définition, propriétés élémentaires...................487 9.2 Indépendance............................. 493 9.3 Vecteurs gaussiens...........................497 9.4 Exercices............................... 498 10 Transformation de Fourier513 10.1 Introduction et notations....................... 513 10.2 Transformation de Fourier dansL1.................. 514 10.3 Transformée de Fourier d’une mesure signée............. 518 10.4 Transformation de Fourier dansL2...................521 10.5 Résolution d’une E.D.O ou d’une E.D.P............... 523 10.6 Fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire............ 524 10.7 Exercices................................531 11 Espérance conditionnelle et martingales549 11.1 Espérance conditionnelle....................... 549 11.2 Martingales.............................. 558 11.3 Exercices................................561 Références595 Index596 |
Disponibilité (4)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| MAT/716 | Livre | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
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