| Titre : | Équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles : Cours et exercices corrigés |
| Auteurs : | Ahmed Lesfari, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris : Ellipses, cop 2015 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-340-00367-5 |
| Format : | 1 vol. (286 p.) / ill., couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | 515.35 |
| Résumé : |
Ce livre s'adresse aux étudiants de master de mathématiques (M1, M2) et/ou physique. Il peut également être utile aux élèves des grandes écoles scientifiques et aux étudiants préparant le CAPES et/ou l'agrégation. Il est bien connu que la géométrie différentielle joue un rôle crucial dans plusieurs domaines aussi bien théorique que pratique. Les sujets traités interviennent dans plusieurs domaines des mathématiques et sont des outils indispensables aux mathématiciens, physiciens, ingénieurs et autres scientifiques. On y trouve huit chapitres intitulés : Variétés différentiables et analytiques réelles (variétés topologiques, cartes et coordonnées locales, changement de cartes, cartes compatibles, variétés différentiables, analytiques et atlas, exercices et problèmes fondamentaux, applications différentiables, espaces tangents, fibrés tangents, applications tangentes, immersions, submersions, plongements et exercices, théorème du rang constant, sous-variétés, exemples et exercices, théorèmes de Sard et de Whitney), Champs de vecteurs (généralités, groupes à un paramètre de difféomorphismes ou flots, opérateurs différentiels, commutativité des champs de vecteurs, variétés difféomorphes aux tores réels), Variétés analytiques complexes (variétés analytiques complexes, exemples, exercices et problèmes fondamentaux, sous variétés, exemples et exercices, ensembles analytiques, courbes algébriques et surfaces de Riemann), Groupes et algèbres de Lie (groupes de Lie, algèbres de Lie, algèbre de Lie d'un groupe de Lie, application exponentielle), Principe variationnel (equation d'Euler-Lagrange, transformation de Legendre, equations canoniques de Hamilton, transformation canonique, equation d'Hamilton-Jacobi et applications), Variétés symplectiques (orbites adjointes et coadjointes d'un groupe de Lie, dérivée de Lie, produit intérieur et formule de Cartan, espaces vectoriels symplectiques, structure symplectique sur une variété différentiable, théorème de Darboux, champs de vecteurs hamiltoniens, orbites coadjointes et leurs structures symplectiques), Systèmes intégrables (théorème d'Arnold-Liouville, systèmes complètement intégrables, méthode de la courbe spectrale, matrices de Jacobi et opérateurs aux différences, théorème de Griffiths, problèmes fondamentaux), Appendices (fonctions de plusieurs variables réelles, formes différentielles, fonctions de plusieurs variables complexes, fonctions elliptiques, courbes elliptiques et hyperelliptiques, propriétés fondamentales des surfaces de Riemann, résultants, discriminants et rappel d'analyse matricielle, variétés abéliennes complexes). De nombreux exemples, exercices et problèmes avec solutions se trouvent disséminés dans le texte. |
| Sommaire : |
1 Variétés diférentiables et analytiques réelles 7 1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Cartes et coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Changement de cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Cartes compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Variétés différentiables, analytiques et atlas . . . . . . . . . . . 11 1.6 Exercices et problèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8 Espaces tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.9 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.10 Applications tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.11 Immersions, submersions, plongements et exercices . . . . . . . 42 1.12 Théorème du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.13 Sous-variétés, exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.14 Théorèmes de Sard et de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Champs de vecteurs 67 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Groupes à un paramètre de difféomorphismes ou flots . . . . . . 69 2.3 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Commutativité des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 73 2.5 Variétés difféomorphes aux tores réels . . . . . . . . . . . . . . 78 3 Variétés analytiques complexes 85 3.1 Variétés analytiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Exemples, exercices et problèmes fondamentaux . . . . . . . . . 90 3.3 Sous-variétés, exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4 Ensembles analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5 Courbes algébriques et surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . 99 6 TABLE DES MATIÈRES 4 Groupes et algèbres de Lie 107 4.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3 Algèbre de Lie d'un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5 Principe variationnel 137 5.1 Équation d'Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3 Équations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4 Transformation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.5 Equation d'Hamilton-Jacobi et applications . . . . . . . . . . . 146 6 Variétés symplectiques 159 6.1 Orbites adjointes et coadjointes d'un groupe de Lie . . . . . . . 160 6.2 Dérivée de Lie, produit intérieur et formule de Cartan . . . . . 167 6.3 Espaces vectoriels symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.4 Structure symplectique sur une variété diérentiable . . . . . . 178 6.5 Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.6 Champs de vecteurs hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.7 Les orbites coadjointes et leurs structures symplectiques . . . . 207 7 Systèmes intégrables 213 7.1 Théorème d'Arnold-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.2 Systèmes complètement intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.3 Méthode de la courbe spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.4 Matrices de Jacobi et opérateurs aux différences . . . . . . . . . 226 7.5 Théorème de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.6 Problèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8 Appendices 285 8.1 Fonctions de plusieurs variables réelles . . . . . . . . . . . . . . 285 8.2 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.3 Fonctions de plusieurs variables complexes . . . . . . . . . . . . 311 8.4 Fonctions elliptiques, courbes elliptiques et hyperelliptiques . . 316 8.5 Propriétés des surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 335 8.6 Résultants, discriminants et rappel d'analyse matricielle . . . . 363 8.7 Variétés abéliennes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 |
Disponibilité (4)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
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