| Titre : | Contribution to statistics of rare events of incomplete data |
| Auteurs : | Nawel HAOUAS, Auteur ; Djamel Meraghni, Directeur de thèse |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Biskra [Algérie] : Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Université Mohamed Khider, 2017 |
| Format : | 1 vol. (151 p.) / couv. ill. / 30 cm |
| Langues: | Anglais |
| Résumé : |
Dans cette thèse, nous intéressons à statistique des événements rares pour des données incomplètement observées, en particulier au l'estimation des valeurs extrêmes aux distributions dans le cas ou les données sont tronquées à droite. Dans ce contexte, nous proposons un estimateur consistent du paramètre de second ordre des distributions de type Pareto et établissons sa normalité asymptotique. Nous obtenons un estimateur asymptotiquement sans biais pour l'indice de la queue et étudions son comportement asymptotique. Par simulation, on montre que les estimateurs proposés se comportent bien, en termes de biais et d'erreur quadratique moyenne. A travers l'intégrale de Lynden-Bell avec un seuil déterministe, nous considérons le cas du seuil aléatoire pour obtenir un estimateur de type Hill et établit sa consistent et sa normalité asymptotique. Une étude de simulation est réalisée afin d'évaluer le comportement des échantillons finis de l'estimateur proposé et de le comparer à ceux qui existent. Ensuite, nous estimons l'extrême quantile dans le cas des données complètes, qui est basé sur les deux méthodes, type noyau et le moment pondéré de probabilité logarithmique. Finalement, nous prouverons la consistent et la normalité asymptotique de notre estimateur. |
| Sommaire : |
Acknowledgement 4 Achieved Works 5 Table of Contents 6 List of Figures 10 List of tables 11 General Introduction 1 1 Extreme values 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Concepts and deÖnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Limite theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Laws of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Limit distributions of maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Generalized extreme value distribution (GEVD) . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Regular variation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1 First Order Regular Variation Assumption . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.2 Second Order Regular Variation Assumption . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.3 Third Order Regular Variation Assumption . . . . . . . . . . . . . 21 1.8 Characterization of the Domain of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.1 Domain of attraction of FrÈchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.2 Domain of attraction of Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.8.3 Domain of attraction of Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8.4 General Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Tail index, extreme quantile and second-order parameter estimation 30 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Tail index estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Hillís estimator ( > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Pickands estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Moment estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Kernel type estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.5 Probability-weighted moment estimator . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Choice of optimal number of extremes kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Method bassed on the mean squared error . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3 Numerical procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Quantile extreme estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1 Approach based on a positive index estimator . . . . . . . . . . . . 45 2.4.2 Approach based on a negative index estimator . . . . . . . . . . . . 46 2.4.3 Approach based on any index estimator . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Second order parameter estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Incomplete data 48 3.1 Censored data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1 Types of censoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Right censoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Left censoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.4 Interval censoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Truncated data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Left truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Right truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3 Interval truncating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Estimation in the case of incomplete data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1 Estimation under random right censoring model . . . . . . . . . . . 53 3.3.2 Estimation under random right truncating model . . . . . . . . . . 56 4 Estimating the second-order parameter of regular variation and bias reduction in tail index estimation under random truncation 59 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Estimating the second-order parameter 1 . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Reduced-bias tail index estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5.1 Automatic choice of the number of upper extremes . . . . . . . . . 71 4.5.2 Graphical diagnostics of the number k of upper extremes . . . . . . 72 4.6 High quantile estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.7 Real data example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.8 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.8.1 Proof of Theorem 4:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.8.2 Proof of Theorem 4:2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.8.3 Proof of Theorem 4:3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.10 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5 A Lynden-Bell integral estimator for the tail index of right-truncated data with a random threshold 96 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.1 Proof Theorem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.2 Proof Theorem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4.3 Proof of Theorem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6 Kernel weighted moment estimator of extreme quantile of complete data112 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.3.1 Proof of theorem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.3.2 Proof of theorem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Conclusion 121 Bibliography 123 Appendix A 132 Appendix B 134 Abstract i |
| En ligne : | http://thesis.univ-biskra.dz/3471/1/Thesis-N.HAOUAS%2012-12-17-.pdf |
Disponibilité (1)
| Cote | Support | Localisation | Statut |
|---|---|---|---|
| TM/69 | Théses de doctorat | bibliothèque sciences exactes | Consultable |
